问题背景假设有这样一个需求：判断某朵花是否是鸢尾花。我们知道不同品种的花长得不一样，所以我们可以通过花的几个外观特征（花萼长、花萼宽、花瓣长、花瓣宽等）来表达这种花。基于这样的思路，我们收集了N朵花，并对其进行了标注，得到如下数据集。图中考虑了最简单的情况，Y（是否为鸢尾花）与特征X线性相关，定义W为相关系数，即模型F可以用下式表示：简化成向量化形式：图中也是线性回归：现在问题来了，Yes和No是两种状态，在计算机科学中我们常用1/0开关来表示，但是从取值范围来看数学公式expression：可以取任意值，这个是没办法直接变成Express0/1的切换值的。那么如何解决这个问题呢？通过转换函数（也称为激活函数）将线性回归转换为逻辑回归。建模思路并不是任何函数都可以作为激活函数。激活函数具有以下良好的性质：非线性，线性函数的复合线性函数仍然是线性函数，因此线性激活函数不能带来非线性变换，使用这样的激活函数无法增强模型的表达能力，以至于无法拟合复杂的实现问题，所以激活函数必须是非线性的。连续可微，如果函数不可微，就没有办法通过梯度下降法对其进行迭代优化，得到近似最优解。如果激活函数不可微，则可能需要其他复杂的数学工具来求解。首先，可能没有解决方案，其次，计算成本过高，无法实现和实施。单调性，线性函数本身是单调的，它本身就具有一定的物理意义，所以在激活函数转换后保持这种性质，其单调性是无法改变的。通过分段函数满足直接转换，直接将f(x)映射为0或1，如公式所示：但是，这个分段函数是不连续的、不可微的、非单调的，并且多了一个参数k，所以这个分段函数不适合用作激活函数。间接映射不是直接映射到0或1，而是将f(x)的取值范围压缩到(0,1)，如公式所示：这是sigmoid函数，下图是乙状结肠功能。显然，这个函数具有上面提到的激活函数的三个优良性质。同时将输出压缩到(0,1)区间。有一种很直观的感觉，我们可以把这个输出值理解为一个概率。在这道题中，指的是鸢尾花的概率。当概率值大于0.5时，说明是鸢尾花的概率为1，否则不是鸢尾花，即为0，可以实现分类判别。实现逻辑既然我们有了sigmoid激活函数，我们如何使用它来训练模型呢？模型之所以能训练好，取决于两个神器：损失函数和梯度下降。前者可以量化我们的模型预测和真实结果之间的误差，确定优化后的目标函数，后者可以知道如何减少误差，具体优化目标函数。损失函数sigmoid激活函数的输出值可以看作是一个概率。具体来说，我们可以把这个概率看成是预测结果为是的概率。我们需要预测的分类结果要么是，要么不是。只有两种情况。显然，样本X服从伯努利（0-1）分布。假设样本X，当分类标签y的真实值为1时，我们看到y_pred也是sigmoid的输出值（模型预测为yes的概率），0为1的互斥事件。当分类标签的真实值为0时，我们依赖于1-y_pred（模型预测为否的概率），因此条件概率P(Y|X)可以量化模型预测的准确率。合并化简，整合成一个统一的形式P(Y|X)就是模型预测结果。显然，P(Y|X)的值越接近1，模型预测结果越准确。一个数据集有N个样本，每个样本都是独立的，所以模型的好坏在整个数据上可以定义如下：那你可以得到最大值，这个就是优化方法中的MaximumEstimate(MLE)，我们已经找到了损失函数。接下来，我们要看这个损失函数如何转化：加负号（最大值问题转化为最小值问题，梯度下降可以找到最小值），取对数（不改变单调性,并将复杂的乘法化为简单的)经过连续加法的梯度下降)确定目标函数,利用梯度下降迭代更新参数W,使其不断逼近目标函数的极值点.梯度推导：联立式②③可以看出模型在t+1时刻的预测误差总是会小于t时刻。通过这样的迭代，模型可以不断学习和调整，直到偏导数为0（局部）的最优极值点，此时参数不能再调整，模型停止再训练。结论逻辑回归（LogisticRegression）是机器学习中最简单、最基本的模型框架和基本范式。毫不夸张地说，它是机器学习的基石之一。很多后续的机器学习模型都是建立在这个基础之上的。在模型框架方面，提出了多种形式的扩展和改进。深入理解逻辑回归模型，梳理逻辑回归模型背后的建模思路、成因、实现逻辑，将使我们对机器学习的方法论有更全面、更清晰的认识。
