250多年来，数学家们一直试图“炸毁”物理学中一些最重要的方程，例如描述流体流动的欧拉方程.如果他们成功了，他们会发现在某些情况下方程式会爆炸——可能是一个旋转速度无限快的漩涡，或者一个突然停止并流动的电流，或者一个无限快流动的电流。电子高速通过。超过这个临界点——“奇点”——方程不再有解。这些方程甚至无法描述理想世界，数学家有理由怀疑这些流体行为模型是否可靠。奇点就像它所描述的流体一样难以捉摸。为了找到答案，数学家通常将控制流体流动的方程式输入计算机并运行数值模拟。他们从一组初始条件开始观察，直到某个量值（如速度或涡度）开始疯狂增长，似乎正走向爆炸。但是计算机无法确定地发现奇点，原因很简单，因为计算机无法处理无穷大的值。如果存在奇点，计算机模型可能会接近方程式被炸毁的点，但绝不会直接接近。事实上，当用更强大的计算方法探测时，明显的奇点消失了。但是这种对奇点的近似仍然很重要。有了近似值，数学家就可以使用一种称为计算机辅助证明的技术来证明附近确实存在奇点。之前已经研究过简化的一维版本。今年早些时候，一组数学家和地球科学家发现了一种全新的近似奇点的方法——使用深度学习方法，使他们能够直接观察奇点。该团队还在使用该方法寻找传统方法无法找到的奇点，希望证明这些方程并不像看起来那样万无一失。论文地址：https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf在这项研究中，YongjiWang等人。开发了一个新的数值框架，使用物理信息神经网络（PINN）寻找Boussinesq方程的平滑自相似解。在存在圆柱边界的情况下，该解对应于三维欧拉方程的渐近自相似曲线。特别是，该解决方案是对三维欧拉方程Luo-Houblow-up场景的准确描述。该解是流体力学方程的第一个真正的多维光滑后向自相似曲线。数值框架是稳健的，很容易适应其他方程。本文研究了数学流体动力学中具有重要意义的二维Boussinesq方程和三维有边界欧拉方程的有限时间爆破问题。王永吉等。使用一种新颖的数值方法，使用物理信息神经网络构造Boussinesq方程的平滑后向自相似解。这个解决方案本身可能成为未来二维Boussinesq和三维欧拉方程边界爆炸的计算机辅助证明的基础。这项研究引发了一场对流体方程式的竞赛：一方是深度学习团队，另一方是多年来一直使用更复杂技术的数学家。不管谁可能赢得比赛——如果有人真正到达终点线——事实证明，神经网络可以帮助人们找到许多不同问题的新解决方案。1莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)于1757年破解的消失爆炸，欧拉方程描述了一种理想的、不可压缩的流体的运动——一种没有粘性、没有内摩擦，并且不能被压缩到更小体积的流体。（在自然界中发现的许多流体都是粘性的，并由Navier-Stokes方程建模；爆破Navier-Stokes方程将获得Cray数学研究所颁发的100万美元千禧年奖。）给定流体中每个粒子在某个起始点的速度点，欧拉方程应该可以随时预测流体的流动。但数学家们想知道，在某些情况下——即使它们一开始看起来是温和的——这些方程式是否最终会遇到麻烦。（我们有理由怀疑这可能是真的：他们模拟的理想流体与只有最轻微粘性的真实流体没有任何相似之处。欧拉方程中奇点的形成可以解释这种差异。）2013年，两位数学家提出有了这样的想法。由于全三维流体流动的动力学可能变得极其复杂，加州理工学院的数学家ThomasHou和香港恒生大学的郭罗认为流动遵循一定的对称性。在他们的模拟中，流体在圆柱形杯子内旋转。玻璃杯上半部分的液体顺时针旋转，而下半部分的液体逆时针旋转。相反的流动形成其他复杂的上下循环。很快，在两条相反的水流相遇的边界处，流体的涡度爆炸了。图片来源MerrillSherman/QuantaMagazine虽然这个证明为奇点的存在提供了有力的证据，但如果没有证据就无法确定它就是奇点。在Hou和Luo的证明之前，许多模拟都暗示了潜在的奇点，但大多数在后来在更强大的计算机上进行测试时都消失了。明尼苏达大学的数学家VladimirSverak说：“你认为存在一个奇点，然后你将它放在一台更大、分辨率更高的计算机上，你认为存在的奇点不知何故消失了。”这是因为这些解决方案可能容易受到小的、看似微不足道的错误的影响，这些错误随着模拟中的每个时间步长而累积。“在计算机上模拟欧拉方程是一门精巧的艺术，因为欧拉方程对解中小至小数点后38位的误差非常敏感，”普林斯顿大学的数学家查理费弗曼说。尽管如此，侯和罗对奇点的近似解至今仍经受住了所有考验，并启发了许多相关研究。“这是奇点形成的最佳场景，”Sverak说。“很多人，包括我自己，都相信这一次我们有一个真正的奇点。”为了充分证明欧拉方程已被炸毁，数学家需要证明给定一个近似奇点附近存在一个实奇点。他们可以用精确的数学术语重新表述这一主张，例如在一个足够接近近似值的区域中存在一个真实的解决方案，如果某些属性可以得到验证，那么该主张就是正确的。而验证这些性质又需要计算机：这一次进行一系列的计算（包括近似解），并仔细控制过程中可能累积的误差。Hou和他的研究生JiajieChen多年来一直致力于计算机辅助证明。自2013年以来，他们改进了近似解，现在使用这个近似作为他们新证明的基础。他们还表明，这种通用策略也适用于比欧拉方程更容易求解的问题。现在，另一个小组加入了狩猎。他们用一种完全不同的方法找到了近似值，这种方法与侯和罗的结果非常相似。他们现在正在编写自己的计算机辅助校样。但要获得近似值，他们首先需要求助于一种新形式的深度学习。2PINN：从冰川研究开始对欧拉方程爆破的新研究始于这样一个意想不到的领域——地球物理学家研究南极洲冰盖的动力学。他们的研究要求使用一种深度学习方法，这种方法已被证明在更多理论背景下有用。数学家特里斯坦·巴克马斯特，目前是普林斯顿高等研究院的访问学者，偶然发现了这个新方法。去年，他被要求签署查理·考恩·布林(CharlieCowenBreen)的一个项目，查理·考恩·布林(CharlieCowenBreen)是他所在系的本科生，一直在普林斯顿地球物理学家Ching-YaoLai的监督下研究南极冰盖的动力学。利用卫星图像和其他观测资料，他们正试图推断冰的粘度并预测其未来的流动。他们通过采用一种前所未见的深度学习方法实现了这一目标，这种方法被称为“基于物理信息的神经网络”(PINN)。与需要在大量数据上进行训练才能做出预测的传统神经网络不同，PINN还必须满足一组潜在的物理约束，包括运动定律、能量守恒、热力学等，以及科学家解决特定问题的方法。问题。任何其他需要引入的物理约束。图片来源NASAEarthObservatory将物理因素引入神经网络有几个目的。一方面，这种神经网络能够在可用数据很少的情况下回答问题。另一方面，PINN能够推断出原始方程中的未知参数。在许多物理问题中，“我们大致知道方程式应该是什么样子，但我们不知道‘某些’项的系数应该是多少，”Lai实验室的博士后研究员、新论文。Lai和CowenBreen试图确定的参数就是这种情况。2017年开发出第一个PINN的布朗大学应用数学家GeorgeKarniadakis提出并将其命名为“隐流体力学”。学生Cowen-Breen的请求引起了Buckmaster的思考。侯、罗和陈等人。在圆柱界面上欧拉方程的经典求解方法上经历了漫长而艰难的进展。但由于对时间的依赖，他们只能如此接近奇点：当他们越来越接近可能看起来像无穷大的地方时，计算机的计算变得越来越不可靠，以至于他们无法真正做到这一点看到爆炸本身。但是欧拉方程可以用另一组方程来表示，使用一种巧妙的技术可以将时间的影响排除在方程之外。HouandLuo（2013）的结果之所以引人注目，不仅因为他们找到了一个非常精确的近似解，而且他们找到的解似乎具有特殊的“自相似”结构。这意味着无论回溯多远，模型的解决方案都遵循某种模式：其后续形状看起来与原始形状非常相似，只是更大。此功能意味着数学家可以专注于奇点发生之前的时间。如果他们以正确的速度放大该快照——就好像他们在显微镜下放大和缩小观察它一样——他们可以模拟之后发生的事情，一直到奇点本身。同时，如果他们这样重新缩放，这个新系统实际上不会有严重的错误，并且可以避免处理无穷大值的问题。Fefferman说，“它刚刚接近一个很好的极限”，这代表了方程的时间相关版本的爆炸。“对这些（重新缩放的）函数建模更容易，所以如果你能用自相似函数描述奇点，那将是一个很大的优势，”Sverak说。右边：数学家TristanBuckmaster和JavierGómezSerrano，以及地球物理学家ChengYaoLai和YongjiWang。他们合作使用基于物理的神经网络研究欧拉方程的爆炸。问题是，要让它起作用，数学家不仅要求解速度和涡度等常用参数的方程（使用自相似坐标来写这些方程），而且方程本身还有一个未知参数：控制放大率多变的。该值必须恰到好处，以确保方程的解与原始问题中的突发解一致。数学家必须正向和反向求解这些方程——使用传统方法即使不是不可能，也很难完成这项任务。找到这些解决方案正是PINN的设计目的。3寻找破解方案的方法回顾最初，Buckmaster说开发PINN“似乎是显而易见的事情”。Buckmaster、Lai、Wang和布朗大学和巴塞罗那大学的数学家JavierGómez-Serrano合作建立了一套物理约束来帮助指导PINN，包括与对称性和其他属性相关的约束。条件，以及他们想要求解的方程式。他们使用了一组使用自相似坐标重写的2D方程，这些方程在靠近圆柱体边界的点处等效于3DEuler方程。然后，他们训练了一个神经网络来寻找满足这些约束的解决方案和自相似参数。“这种方法非常灵活，只要你设置正确的约束，你总能找到解决方案，”赖说。事实上，该团队还通过在其他问题上测试该方法来证明这种灵活性。该团队提供的答案看起来很像Hou和Luo(2013)提出的解决方案。但是数学家们希望他们给出的近似值能够更详细地描述正在发生的事情，因为这是第一次直接计算出问题的自相似解。“新发现提供了关于奇点如何形成的更精确的图景，”即某些值如何达到临界点，以及方程式如何分解，Sverak说。“如果没有神经网络，你就很难证明你真的捕捉到了奇点的本质，”巴克马斯特说。“很明显，这项研究中使用的方法比传统方法容易得多。”Gómez-Serrano对此表示赞同，他说：“这将成为未来人们手中的标准工具。”再一次，PINNs揭示了Karniadakis所说的“隐藏的流体力学”，只是这一次，他们使用PINNsinProgress在更多的理论问题上取得了进展。“我还没有看到有人用PINN做到这一点，”Karniadakis说。“这并不是数学家兴奋的唯一原因。PINN还可能被用来寻找另一种使用传统数值方法几乎不可能找到的奇点。这些“不稳定”的奇点可能是这些流体动力学模型中唯一存在的奇点包括没有圆柱边界的欧拉方程（求解起来已经复杂得多）和Navier-Stokes方程。“不稳定的奇点确实存在。那么为什么不找到他们呢？”普林斯顿数学家PeterConstantin曾经说过。但即使对于可以用经典方法处理的稳定奇点，PINN也“定量且准确地提供了具有圆柱边界的欧拉方程组的解，并且可以变得更严格。现在有一个证明路线图。这将需要大量的工作和大量的技巧。我想它仍然需要一些创造力。但我认为这不需要任何天赋。我认为这是可行的。费弗曼说。Buckmaster的团队现在正在与Hou和Chen进行比赛，看谁能先到达终点线。侯和陈在这条赛道上领先一步：据侯介绍，他们已经在改进近似解和完成证明方面取得了实质性进展。他怀疑Buckmaster和他的同事必须改进近似解来获得他们自己的证明。在他看来，现有的近似解的误差范围已经很小了。尽管如此，许多专家还是希望破解欧拉方程长达250年的探索接近尾声。“从概念上讲，我认为......所有重要的部分都已到位，细节很难确定，”Sverak说。“
