作为一名工科学生，我们长期使用矩阵和行列式等线性代数知识。在这篇文章中，我想谈谈这些问题，即什么是区域，什么是区域高纬度推广。1什么是面积？对于什么是面积，大家可能首先想到的是我们生活中常用的长*宽？真的是这样吗？其实我们这里说的面积其实就是欧氏空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。关于平行四边形面积的定义，几何学里说的就是相邻两条边的长度乘以它们夹角的正弦值。但是当我们面对一些更一般的情况和更高维的数学问题时，我们有必要对这个领域的定义进行泛化。首先，我们需要注意的是，面积是一个标量，是两个相邻边的两个向量相乘的结果，所以我们来到这里，需要把面积看成一个映射关系。这里的V可以看做是一个适量，V*V代表适量的两个有序对，那么f自然就是要求的区域了。下面我们来证明这个映射是一个线性映射，请坐稳支持：下面我们举一个最简单的例子，现在我们假设第一个向量为(1.0)，第二个向量为(0,1)，即比如说，这两个向量分别是X轴和Y轴上的正单位向量，那么这两个向量组成的四边形，这个四边形其实就是一个正方形，按照面积的定义，其实就是*width=1*1=1，所以我们可以得到：现在假设第一个向量按a倍缩放，这个四边形的面积也会变成对应的a倍，这个面积也会变成原来的a倍，如果第二个向量被缩放到b倍，面积也会变成原来的b倍，如果这时候我们把两个向量同时缩放到ab倍，那么面积也会变成原来的ab倍，可见面积到其他两个操作数的向量的标量积的映射是线性的，as如下：其实在实际情况中，其操作数（vector）的向量相加，区域的映射也是线性的。因为向量加法运算本身就是一个线性的，那么它的面积的映射其实就是一个线性映射。现在我想通过几个例子来解释映射的加性线性的一些后果。两个共线向量构成的平行四边形是一条直线，所以面积为0。现在假设面积映射是关于a适当相加量的线性映射，那么我们有如下结果。其实这里用了一个理论：就是交换适量相互垂直的操作数的顺序后，该区域的映射就变成了负值。它是积极的还是消极的取决于你认为的定义。一般来说，我们把X轴的向量放在前面，Y轴的向量向量放在后面，一个平行四边形的面积从X轴拉伸到Y轴，我们一般把这个符号看成正号。2在三维空间中的应用在三维空间中，我们一般使用右手定则进行实验。如果X轴正方形为头部，Y轴正方向为尾部。右手定则告诉我，纸向外的方向就是面积的正方向。如果是反的，则纸张向内的方向就是该区域的正方向与指定的正负号方向相反。现在再看正负号的几何意义就更明显了。现在我们假设平面上任意两个向量组成的平行四边形现在用一个公式来表示面积：这里其实不难看出，所谓面积其实就是一个2*2矩阵的行列式:如下图所示：其实我们的***行就是我们的第一行向量(a,b)，第二行就是第二行向量(c,d)，或者***列就是第一列向量(a,b)和第二列自然是第二列向量(c,d)的秩转换。当然，这还是要看我们把向量写成行向量还是列向量。3行列式计算的性质在上面的推理中，我们不难发现，无论行列式的向量写成列向量的水平行还是行向量的垂直行，行列式的取值是无关紧要的。这就是为什么，在计算中，行列式的地位是相等的。而且还要注意，根据上面的分析，交换向量的顺序，面积之所以是负号。这就是为什么在行列式中，交换列向量或行向量要取一次负号的原因。此外，行列式的其他计算性质实际上也反映在面积图的线性度上。因此，综上所述，行列式本身其实就是一个关于区域形式的泛化的问题。实际上，给定一组底，就是一个由N个向量组成的N维定义的广义四边形的体积。其实这就是行列式本质的一个意思。4行列式的推广根据上述结论，我们可以很容易地扩展到三维体积的计算：这里要注意行列式的定义实际上是每行不同列的元素乘积符号与所谓的倒序有关。什么是反向虚拟？所谓逆序的几何意义就是在指定了一个正方向后（比如从1,2,3,4,5...N开始的顺序定义为正号），我们已经看到了交换任何一对数字时取负号的特性。我们已经在上面的area函数中看到了。事实上，体积，更高维度的广义体积，也有正方向，但很难用右手定则（和叉积）来说明图像。右手定则的局限性也是将高维区域扩展为行列式的动机之一。对于以这种方式交换任何一组指标的操作，可以更改交易品种的性质。事实上，我们称之为反对称。这时候，如果你善于思考，你会奇怪为什么要取不同行不同列的元素的乘积。因为如果有任何两个元素在同一列，那么它们交换它们的列指示符，乘积不变但符号相反。所以乘积一定为0，这也是行列式值没有体现的原因之一。行列式的定义其实比较复杂。实际上，它来自广域地图的反对称性。实际上，区域图是二维的。如果把二维任意扩展到多维，我们其实可以发现R维形式和R*R行列式的形式是完全一致的。其实在这里，我们可以总结一下各个维度所代表的东西。二维表示的是平面中的面积，三维自然是三维空间中的体积。四维空间其实就是四维空间中的超级体积。等等。在上面的推理中，我们发现用这些向量给定的基坐标写成的矩阵一定是方阵，面积或体积对应矩阵的行列式。这样的扩展证明相信在任何一本线性代数书上都能看到。我只是说了人的话。5我们知道许多关于行列式和逆矩阵的定理。比如行列式为0的矩阵是不可逆的，行列式不为0。这时候我们不禁要问，代表面积的行列式是如何与线性变化的可逆性结合起来的。这时候我们就应该明白线性变化的几何意义了。现在声明：如果我们在空间中以列向量的形式写出一组线性无关的向量，那么它们所构成的N维体积的体积不为零。根据上面的分析，它的值是由行列式给定的。向量经过线性变换A变换后，新的向量形式如下：注意A为N*N矩阵，向量为列向量。变换前，N维体的体积为：变换后，N维体的体积为（注意，第二个方程实际上说明了几何意义如何定义矩阵乘法，即N*N矩阵A和另一个N列向量组成的N*N矩阵的乘法）：如果A的行列式不为零，说明经过这次变换，N维体的体积不为NULL。结合线性无关和体积的性质，我们可以说：如果A的行列式不为零，则A可以将一组线性无关向量映射成一组新的线性无关向量；A是可逆的（一对一映射，保真映射，KERNEL为{0}）如果A的行列式为零，那么A会将一组线性无关的向量映射成一组线性相关的向量。如果A的行列式为负，则A将改变原N维体积的方向。从线性独立到线性相关，会丢失一些信息（比如坍缩成共线或共面），所以这种转变显然是不可逆的。线性是否无关与被拉伸的N维体的体积有直接关系，而这个体积值与A的行列式有关。因此，我们建立了A的行列式与是否可逆的几何关系。例如，我们假设A是一个3维矩阵。如果在映射之前，有一组三个线性无关的向量，我们知道它们跨越的体积不为0；映射之后，它们对应的新向量也可以跨成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是原来的体积乘以A的行列式。显然，如果A的行列式为0，那么变换后的新的体积"parallelepiped”必然也为0。根据以上结论，我们有：变换后的新向量集是线性相关的。结论：线性变换A的行列式是否为零代表其映射的保真度，即一组线性无关的向量是否可以变换为另一组保持无关的向量。6秩但有时行列式A虽然不能使空间数最多的一组向量线性独立，但可以保证一组数量较少的向量使它们线性独立，而这个向量数往往小于线性空间的维数。这个数称为线性变换A的秩。例如：一个秩为2和3*3的矩阵A，因为秩小于3，那么任意3维六面体进行它的变换，体积就变成0，退化了一个曲面，但是还是有一个面积不为零的曲面，变换后还是一个面积不为零的曲面。因此，所谓线性变换的秩，无非是变化后能保持非零体积几何的最佳秩。方面。通过理解上面秩、行列式、可逆性的几何意义，我们可以随意构造一个线性变化的A，这样他要么保留所有的几何，要么降维为特定维度和结构的几何，并进行压缩它转化为低维几何，因此可以看作是“降维打击”高维推理。希望有兴趣的朋友可以自己证明。有不懂的也可以在文章下方评论。希望大家多多交流，多多指教。本文转载自雷锋网。如需转载，请到雷锋网官网申请授权。本文作者夏红锦原创发表于作者个人博客。
