第一章随机事件与概率1.2概率的定义——事件域事件域的定义：令$\Omega$为样本空间，$\mathcal{F}$是由$\Omega$的某些子集组成的集合类，如果$\mathcal{F}$满足：$\Omega\in\mathcal{F}$；如果$A\in\mathcal{F}$，则相反事件$\overlineA\in\mathcal{F}$；如果$A_n\in\mathcal{F},\quadn=1,2,\cdots$，可以组合$\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty}A_n\in\mathcal{F}$。我们称$\mathcal{F}$为事件域，也称为$\sigma$代数。例1公共事件域：如果样本空间只包含两个样本点：$\Omega=\{\omega_1,\omega_2\}$，记录$A=\{\omega_1\}$,$\overlineA=\{\omega_2\}$，则事件域为$\mathcal{F}=\{\emptyset,A,\overlineA,\Omega\}$；设$\Omega$为样本空间，$A\subset\Omega$（可测），则$F_1=\{\emptyset,\Omega\}$,$F_2=\{\emptyset,A,\overlineA,\Omega\}$都是事件域；若样本空间包含$n$个样本点：$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$，则其事件域$\mathcal{F}$由空集$构成\emptyset$，$n$单元素，${n\choose2}$双元素，${n\choose3}$三元，$\cdots$和$\Omega$组成的集合类。此时$\mathcal{F}$中有${n\choose0}+{n\choose1}+\cdots+{n\choosen}=2^n$个事件；设$\Omega=(a,b)$(interval)，那么$F=\{(a,b)\}$上的所有可测集也是事件域。2概率的公理化定义设$\Omega$为样本空间，$\mathcal{F}$为$\Omega$的某些子集组成的事件域。如果对于任何事件$A\in\mathcal{F}$，在$\mathcal{F}$上定义的实值函数$P(A)$满足：非负性公理：如果$A\in\mathcal{F}$，则$P(A)\ge0$；正则公理：$P(\Omega)=1$；可列加性公理：如果$A_1??,A_2,\cdots,A_n,\cdots$互不相容，$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}P(A_i)$$则$P(A)$称为事件$A$的概率，三个元素$(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P})$称为概率空间。
