第一章随机事件与概率1.4概率的本质和概率的连续性——概率的本质是由概率公理（非负性、正则性和概率性）定义的listableadditivity)可以推导出概率的一系列性质：property1$P(\emptyset)=0$;性质2有限可加性，若有限事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$互斥兼容，则$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)$$属性3对于任意事件$A$,$P(\overlineA)=1-P(A)$;性质4如果$A\supsetB$，则$P(A-B)=P(A)-P(B)$；性质5对于任意两个事件$A$，$B$，有$P(A-B)=P(A)-P(AB)$；性质6加法公式：对于任意两个事件$A$，$B$，有：$$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)$$的连续性两个概率定义1对于$\mathcal{F}$中的任意单调非递减事件序列$F_1\subsetF_2\subset\cdots\subsetF_n\subset\cdots$，可以列和$\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty}F_i$是$\{F_i\}$极端事件。并记录为：$$\lim_{n\to+\infty}F_n=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty}F_n$$定义了$\mathcal{F}$中的2对任意单调非增事件序列$E_1\supsetE_2\supset\cdots\supsetE_n\supset\cdots$被称为$\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty}E_i$as$\{F_i\}$限制事件。并记录为：$$\lim_{n\to+\infty}E_n=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty}E_n$$定义了3对$\mathcal{F}$上的概率$P$，如果对于$\mathcal{F}$$\{F_n\}$$$\lim_{n\to+\infty}P(F_n)=P(\lim_{n\to+\infty}F_n)$$概率$P$下面说是连续的。定义4对于$\mathcal{F}$上的概率$P$，如果对于$\mathcal{F}${n\to+\infty}P(E_n)=P(\lim_{n\to+\infty}E_n)$$那么概率$P$被称为连续的。定理1（概率的连续性）假设$\{A_n\}$是一个单调递减的事件列，则$$P(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=\lim_{n\to\infty}P(A_n)$$证明：令$A_1??=\emptyset,~c_n=\overline{A_n}-\overline{A_{n-1}},~n=1,2,\cdots$那么$c_n\capc_m=\emptyset,~n\nem$and$\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}{\overline{A_i}}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}{c_i}$,所以:$$P(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=1-P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\overlineA_i)=1-P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}{c_i})=1-\sum\limits_{i=1}^{\infty}{P(c_i)}=1-\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{P(c_i)}$$$$=1-\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{P(\overline{A_i}-\overline{A_{i-1}})}=1-\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{[P(\overline{A_i})-P(\overline{A_{i-1}})]}$$$$=1-\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{[P(\overline{A_i})-P(\overline{A_{0}})]}=1-\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}{[1-P({A_i})]}$$$$=\lim_{n\to\infty}P(A_n)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$定理2（概率的下连续性）假设$\{A_i\}$是一个单调递增的事件序列，则$$P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i)=\lim_{n\to\infty}P(A_n)$$证明：小定理3设$P$定义在$F$非-negative,canonicalsetfunction,那么$P$可列可加的充分必要条件是$P$是有限可加的，它是下一个连续证明：Slightly
