第一章随机事件与概率1.1随机事件及其运算——随机事件的几个相关概念1随机现象：在一定条件下，并不总是相同的结果。如：抛硬币和掷骰子。随机现象的特点：有不止一种结果，只有一种结果的现象称为确定性现象。例如：太阳每天早上从东方升起；事先不知道会出现哪种结果。例1随机现象举例：抛一枚硬币，可能正面朝上，也可能正面朝上；掷骰子，出现的点数；一天内进入某超市的顾客数量；某种电视机的寿命；测量物理量（长度、直径等）的误差。2随机实验：在相同条件下可以反复出现的随机现象。注意还有很多随机现象是不能重复的。如：一些经济现象。3样本空间：随机现象所有可能的基本结果（样本点）的集合称为样本空间。例2下面是例1的样本空间：抛硬币的样本空间为：$\Omega_1=\{\omega_1,\omega_2\}$，其中$\omega_1$表示单挑，$\omega_2$表示尾巴向上；掷骰子的样本空间为：$\Omega_2=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_6\}$，其中$\omega_i$表示$i$出现的点数，也可以是记录为：$\Omega_2=\{1,2,\cdots,6\}$；一天进入超市的顾客数量的样本空间为：$\Omega_3=\{0,1,2,\cdots,500,\cdots\}$；电视生活的样本空间为：$\Omega_4=\{t,t\geq0\}$；测量误差的样本空间为：$\Omega_5=\{x,-\infty\leqx\leq+\infty\}$。注：样本空间中的元素可以是数字也可以不是数字，如$\Omega_1$；样本空间至少有两个样本点，只有两个样本点的样本空间是最简单的样本空间，如$\Omega_1$；从样本空间所包含的样本点的个数来看，样本空间可以分为有限样本空间和无限样本空间两种类型。例如，$\Omega_1$和$\Omega_2$是有限样本空间，而$\Omega_3$、$\Omega_4$和$\Omega_5$是无限样本空间。其中，$\Omega_3$中的样本点个数是可列的，而$\Omega_4$和$\Omega_5$中的样本点个数是不可列且无限的。我们将具有有限个样本点或可列样本点的样本空间称为离散样本空间，将具有无限个样本点的样本空间称为连续样本空间。4随机事件：随机现象的一些样本点的集合称为随机事件，简称事件。常用大写字母$A、B、C、\cdots$表示。例如，在掷骰子中，$A=$“奇数”是一个事件，即$A=\{1,3,5\}$。注意：任何事件$A$都是相应样本空间的子集。在概率论中，常用矩形表示样本空间$\Omega$，用圆形或其他几何图形表示事件$A$。见图1.1，这种图称为维恩图；图1.1事件$A$的维恩图当子集$A$中的某个样本点出现时，称事件$A$已经发生，或者说事件$A$发生当且仅当$A$中的某个样本点A$出现；事件可以用集合来表示，也可以用无误的语言来描述；该集合称为基本事件，样本空间$\Omega$的最大子集（即$\Omega$本身）称为必要事件。样本空间的最小子集$\Omega$（即空集$\emptyset$）称为不可能事件。例3掷骰子的样本空间为：$\Omega=\{1,2,\cdots,6\}$:event$A$="1pointoccurs"，它由$\Omega$的三个样本组成点“1”；事件$B$="偶数发生"，由$\Omega$的单个样本点"2,4,6"组成；event$C$="出现的点数小于7"，由$\Omega$的所有样本点组成，由"1,2,3,4,5,6"组成；event$D$="出现的点数大于6"，$\Omega$中的任意样本点都不在$D$中，所以$D$为空集，即不可能事件$\空集$。5随机变量：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。大写字母$X、Y、Z$常用来表示很多事件可以用随机变量表示，表达时要说明随机变量的含义。例4掷一个骰子，出现的点数是一个随机变量，记为$X$，则“出现3点”的事件可以用“$X$=3”表示，事件“出现的点数为不少于3”可以用“$X\ge3$”表示，例如“$X\lt3$”表示事件“出现点数小于3”。6.事件之间的包含关系：如果属于$A$的样本点一定属于$B$，则称$A$包含在$B$中，或者$B$包含$A$，记录作为$A\子集B$，或$B\supsetA$；相等关系：如果满足事件$A$和$B$：属于$A$的样本点一定属于$B$，属于$B$的样本点一定属于$A$，即$A\subsetB$and$B\supsetA$，则事件$A$等于$B$，记为$A=B$；mutuallyincompatible：如果$A$和$B$不具有相同的样本点，则称$A$和$B$互不相容，即$A$和$B$互不相容，这意味着事件$A$和$B$不能同时发生。两个事件的并集：“事件$A$和$B$中的至少一个发生”称为事件$A$和$B$的并集；交集：“事件$A$和$B$同时发生”称为事件$A$和$B$的交换。如果事件$A$和$B$互不相容，那么它们之间的相互作用必然是不可能的，即$AB=\emptyset$，反之亦然，即$AB=\emptyset$意味着$A$和$B$是互斥事件；区别：“由事件$A$中但不在事件$B$中的样本点组成的新事件”记录为“$A-B$”，即“事件$A$发生，事件$B$未发生”;相反事件：“由$\Omega$但不在$A$中的样本点组成的新事件”称为相反事件，记录为$\overlineA$。$A$和$B$为相反事件的充要条件是：$A\capB=\emptyset$和$A\cupB=\Omega$；事件运行的性质：交换律：$A\cupB=B\cupA$,$A\capB=B\capA$即$AB=BA$；结合律：$(A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)$和$(AB)C=A(BC)$分配律：$(A\cupB)\capC=AC\cupBC$和$(A\capB)\cupC=(A\cupC)\cap(B\cupC)$对偶性（德摩根公式）：$\overline{A\cupB}=\overlineA\cap\overlineB$and$\overline{A\capB}=\overlineA\cup\overlineB$这个公式可以推广到多个事件，可以列出事件：$$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^nA_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n\overlineA_i\quadand\quad\overline{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i}=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}\overlineA_i$$$$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^nA_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n\上划线A_i\quad和\quad\overline{\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\overlineA_i$$where$\overline{\bigcup\limits_{i=1}^nA_i}=\bigcap\limits_{i=1}^n\overlineA_i$和$\overline{\bigcap\limits_{i=1}^nA_i}=\bigcup\limits_{i=1}^n\overlineA_i$可以用数学归纳法证明。
