德国数学家大卫·希尔伯特是二十世纪最伟大的数学家之一，被誉为“数学界的亚历山大”。他在代数不变量、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、无限维空间以及物理和数学基础等领域对数学领域做出了广泛而重要的贡献。《几何基础》发表于1899年，成为近代公理化方法的代表作，从而推动了“公理化数学学派”的形成。大卫希尔伯特。1900年8月8日，在法国巴黎召开的第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了新世纪数学家应该努力解决的23个问题。这23道题统称为“希尔伯特题”，分为四部分：1~6道基础数学题，7~12道数论题，13~18道代数几何题，19~23道数学题分析题题。这些问题成为后世数学家努力攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了积极而深远的影响。一个多世纪后，这些问题大部分都得到了圆满或部分解决，但仍有一些问题没有解决，包括第十二个问题“一般代数数域的阿贝尔扩展”。就其定义而言，阿贝尔扩张是一种重要的域扩张。设K为域F的伽罗瓦扩张。若其伽罗瓦群G(K/F)为阿贝尔群，则称该扩张为阿贝尔扩张，此时称K为F上的阿贝尔扩张域。1912年，德国数学家埃里希·赫克利用希尔伯特模形式研究了实二次域的情况，而虚二次域的情况已经基本用复乘法理论解决了。一般的阿贝尔展开没有解决。资料来源：维基百科。事实上，在希尔伯特提出他的23个问题列表之前不久，数学家已经发现了某些与有理数相关的数值构建模块，这些构建模块可以用整数比率来表示。巧合的是，这一发现是解决第12个问题的基础，该问题要求找到与有理数以外的数字系统相关的构建块。经过数学家数十年的不断研究和探索，今年3月初发表在arXiv上的论文《Brumer–Stark Units and Hilbert’s 12th Problem 》终于描述了希尔伯特在100多年前寻求的广泛数字系统的构建模块，但得出的答案依赖于一些非常现代的想法。论文地址：https://arxiv.org/pdf/2103.02516.pdf论文作者为杜克大学数学系教授SamitDasgupta（左）和哈佛大学教授MaheshKakde（右）印度科学院数学系。对于这项研究，美国数学家、加州大学圣地亚哥分校和哈佛大学名誉教授本尼迪克特·格罗斯表示：“这是我们期待已久的事情，他们确实取得了重大成就”在解读这两位数学家的研究成果和方法之前，我们先了解一下希尔伯特第12问题的数论基础以及近百年来数学家们在这个问题上所做的各种努力和尝试。第12题基于数论，研究数字的基本算术性质，包括多项式表达式的解，例如x^3+2x?3。特别是，数学家经常研究这些表达式的根，x使多项式为零。数论学家经常根据系数的类型对多项式进行分类。以有理数为系数的系数相对简单，是研究的共同目标。“我们从有理数开始，”杜克大学说最新研究的作者之一数学家萨米特·达斯古普塔(SamitDasgupta)和Depa教授MaheshKakde印度科学院数学系毕业。并说：“这是数论的基本体系。”有时具有有理系数的多项式的根本身就是有理数，但情况并非总是如此。这意味着想要找到所有有理多项式的根的数学家需要在一个扩展的数系中寻找：复数，包括所有有理数和实数，加上虚数i。当在复平面上绘制多项式的根时，x轴为实数，y轴为纯虚数，会出现一些对称性。这些对称性可用于重新排列点，对齐它们的位置。如果您可以以任何顺序应用对称性以获得相同的结果，则多项式是阿贝尔多项式。但是，如果应用对称性的顺序改变了结果，则多项式是非交换式的。数论学家对阿贝尔多项式最感兴趣，同样是因为它们很简单，但它们很难区分。例如，x^2?2是阿贝尔矩阵，但x^3?2不是。“你不必走很远就可以得到非阿贝尔形式，”俄勒冈大学的艾伦艾申说。除了这些对称性之外，阿贝尔多项式还有一个显着的特性，即试图使用简单而精确的术语来描述多项式的根。例如，要精确描述多项式x^2?3的根很容易：多项式的根是正根和负根3。但是对于一个大指数的复杂多项式，要写出它的难度很大根。当然，有变通办法，“你可以用数字来近似‘多项式的根’，”Eischen说。但是如果要写的一定，就只能有限的写了。然而，具有有理系数的阿贝尔多项式是特殊的：它们的根总是可以从一组固定的构建块中精确计算出来。这一发现被证明是如此强大，以至于它启发了希尔伯特制定他的第12个问题，这一切都归功于一组被称为单位根的数字。单位根单位根是一个看似简单但非常重要的概念。在数值上，它们是多项式的解，其中变量被提高到1。例如，x^5=1或x^8=1。这些解是复数，由指数中的数字表示。例如，5次单位根是x^5=1的五个解。但单位根也可以用几何方式描述，无需方程。如果将这些点绘制在复平面上，则这些点位于半径为1的圆上。如果你把圆圈想象成一个时钟，指向3点钟，你将始终有一个单位根，其中x=1，因为1仍然是1的任何次方。其余单位根围绕圆等距分布。在19世纪，在希尔伯特提出他的数学问题清单之前，数学家发现单位根可以作为他们想要研究的特定数字集的“积木”：具有有理系数的阿贝尔多项式的根。如果您简单地组合单位根（加、减、乘以有理数），您可以描述所有这些预期的根。例如，5的平方根是阿贝尔多项式x^2-5的根，可以表示为不同的五次单位根之和。这类似于质数构建整数块的方式。所以单位根需要精确的构建块，你需要用有理系数完美地描述阿贝尔多项式的根。另一方面，任何单位根的组合都会产生一个数字，该数字是某些具有有理系数的阿贝尔多项式的根。两者有着千丝万缕的联系。当希尔伯特制定他的第12个问题时，他希望数学家找到阿贝尔多项式根的构建块，其系数来自有理数以外的数字系统。换句话说，单位根与其他数字系统有何相似之处？几十年来未解决的问题这是一个雄心勃勃的问题，这就是为什么它在希尔伯特的名单上。他猜想这个问题可以得到回答，因为在提出这个问题时，他想到了如何将另一个数值系统（称为虚二次域）描述为积木——一个通常仅由以下组成的系统有理数和负数的平方根。几十年后，他的猜测被证明是正确的。“这个问题有两种情况：‘有理数’情况和虚构的二次场情况，”伦敦帝国理工学院的AlicePozzi说。希尔伯特希望用与这两个已知案例类似的方式来描述其他数字系统的行为。基本组成部分。这意味着使用复杂的分析（一种研究复杂函数的数学理论）。但在1970年代，即希尔伯特第12个问题提出几十年后，数学家哈罗德·斯塔克(HaroldStark)推测可以借助L函数解决该问题。L函数是一类重要的复变函数，通常表示为无穷级数。它是黎曼ζ函数的推广。黎曼ζ函数如下：几个世纪以来，数学家们都知道L函数是神秘而又极其有意义的，他们给出了π等重要常数的无穷级数表示。基于这种直觉，Stark能够使用L函数对其他数字系统中的单位根进行建模。然而，尽管数学家们相信斯塔克的猜想是正确的，并使用计算机分析对其进行了广泛的测试，但他们还没有得到任何成功的证明。达尔蒙道：“据我们所知，要证明斯塔克的猜想确实很困难，五十年来几乎没有任何进展。”因此，斯塔克的猜想只是提供了一个简单的思路。该系统找到包含带系数的阿贝尔多项式根的构建块，但没有人知道如何证明这一点。更糟糕的是，Stark的方案只提供了实际描述组成构件所需信息的一半。这就像在地图上寻找位置，只提供经度，还需要纬度才能找到特定的地方。在1980年代，本尼迪克特·格罗斯(BenedictGross)发表了斯塔克方案的修改版本，以继续这项数学研究。希尔伯特和斯塔克都考虑复数，而格罗斯使用p进数。这两种方法都是标准数字的替代方法，标准数字使用不同的方法来确定两个数字是否接近。本尼迪克特格罗斯。数学中的许多概念都可以使用p进数重写，包括L函数。事实上，在现代数论中，p进L函数与复数L函数密切相关。即便如此，起初格罗斯将复数转换为p进数似乎并没有进一步证明斯塔克猜想。在随后的几十年里，格罗斯的p进猜想随着p进数论在数论领域的发展而变得容易一些。“通过p进分析可以获得很多有趣的结果，”Darmon说。事实证明，一些重要的数学问题用p进数比用复数更容易解决，而希尔伯特的第12个问题就是这样。.另一种方式：计算机程序找到数字系统的构建块今年三月，杜克大学教授SamitDasgupta和印度科学院教授MaheshKakde首次发表论文使用p-adicL函数来回答希尔伯特关于独立大问题的问题与数字系统。这些被称为“全实域”的数字系统是有理数的扩展，包含给定多项式的根。p-侵略性L函数。两位教授通过Deligne–Ribet和Cassou-Nogues构造了一个p进亚纯函数，它满足插值性质。2004年，Dasgupta在他的博士论文中首次提出了所需的最终公式——对Gross猜想的改进。随后的十年间，利用p进数论的发展，他又发表了两篇论文，终于证明了格罗斯的猜想。但这还不足以解决希尔伯特的第12个问题，因为与Stark的猜想一样，Gross的猜想只提供了精确描述构建块所需的两个数字之一。在过去的三年里，Dasgupta和Kakde合作证明Gross的猜想可能无法提供积木所需的两个数字。卡克德曾表示：“我们都非常乐观，有时会有难以逾越的障碍，但幸运的是，我们一直在进步。”直到2020年，他们终于有了突破，证明了它与整个真实领域相关。确实存在精确的构建块。换句话说，他们知道他们想要实现的目标就在某个地方，这会指引他们朝着正确的方向前进。他们获得了关键方程式，这些方程式证明了可以完全描述构建块的精确公式的存在。格罗斯猜想的部分证明。为了验证正确性，Dasgupta的两名学生编写了一个计算机程序，为给定的数字系统生成构建块并演示其工作原理。除了理论证明之外，计算机程序还帮助证明了Dasgupta和Kakde提出的公式的正确性，这是解决此类抽象问题的重要因素。另外，这个计算机程序在GitHub上有一个名为“Computation-of-Elliptic-Units”的项目，主要计算“生成实二次场Hilbert-like场所需的椭圆单元和多项式”。下表1为部分计算结果：项目地址：https://github.com/liuyj8526/Computation-of-Elliptic-Units希尔伯特第12题要求准确描述阿贝尔多项式根的构建块，类似基于单位根，Dasgupta和Kakde的工作给出了一系列数字系统的构建块，尽管是以p进L函数的形式，具有鲜明的现代性。但还有最后一个问题：由于希尔伯特明确指出积木应该由复数组成，因此解决方案偏离了希尔伯特最初的指示，这显示了数学的普遍性。p进分析的使用为希尔伯特的问题提供了答案，但使用复数分析的原始问题仍有待未来数学家探索。积木的描述方式可能有很多种，将来可能会用复数来描述，从而满足希尔伯特最初的要求。正如格罗斯所说：“这是一场接力赛，当你筋疲力尽时，你将接力棒传给下一个人。”
