在机器学习中，一个基本概念是如何判断两个样本之间的差异，从而能够评估相似度和类别等信息。判断这种相似性的度量是特征空间中两个样本之间的距离。根据数据的不同特点，有多种测量方法。一般来说，对于两个数据样本x,y，定义一个函数d(x,y)，如果定义为两个样本之间的距离，那么d(x,y)需要满足以下基本性质：非负性:d(x,y)>=0恒等式：d(x,y)=0?x=y对称性：d(x,y)=d(y,x)三角不等式：d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)一般而言，常见的距离度量包括：空间中点之间的距离、字符串之间的距离、集合的相似性、变量/概念分布之间的距离四种类型。今天我们先介绍一下空间中最常用的点的距离。空间中点的距离包括以下几种：1.欧氏距离（EcllideanDistance）毫无疑问，欧氏距离是大家最熟悉的距离，它是两点之间的直线距离。初中学过数学的同学都知道，在直角坐标系下如何计算二维空间中两点之间的距离。计算公式为：扩展到N维空间的欧式距离为：2.曼哈顿距离（ManhattanDistance）曼哈顿距离又称出租车距离。它的概念来自纽约曼哈顿，那里有许多水平和垂直的街区。在这个街区，如果出租车司机要从一个点到另一个点，计算直线距离是没有用的，因为出租车是不可能飞过大楼的。所以，这个距离通常是将两点的东西和南北距离相减再相加得到的，也就是出租车实际要行驶的距离。如图所示，红线和黄线分别是两条不同路径的曼哈顿距离。在数学上，二维空间中曼哈顿距离的计算方法如下：3.切比雪夫距离（ChebyshevDistance）切比雪夫距离定义为两点坐标之差的最大值。最直观的例子就是象棋中的王，因为它可以走直线也可以走对角线，但是一次只能走一格，所以切比雪夫距离就是他走到另一格所需要的最小值。距离。4、闵可夫斯基距离（MinkowskiDistance）闵可夫斯基距离本身并不是一个特殊的距离，而是多个距离（曼哈顿距离、欧氏距离、切比雪夫距离）组合而成的公式。定义为，对于两个n维变量，Min的距离为：当p=1时，可见此时为曼哈顿距离。当p=2时，可以看出这就是欧氏距离。当p=∞时，可以看出这就是切比雪夫距离。5、标准化欧几里得距离（StandardizedEuclideanDistance）欧几里得距离可以衡量两点之间的直线距离，但在某些情况下可能会受到不同单位的影响。比如，如果同时有5、5毫米的身高差和5公斤的体重差，观感可能就完全不一样了。如果我们要对三个模型进行聚类，它们各自的属性如下：A：65000000mg（即65kg），1.74mB：60000000mg（即60kg），1.70mC：65000000mg（即65kg），1.40米按照我们正常的理解，AB是身材较好的模特，应该归为一类。但实际按上述单位计算时，发现A和B的差值大于A和C的差值，原因是属性的计量单位不同导致数值相差太大。如果更改单位，则数据相同。A：65公斤，174厘米B：60公斤，170厘米C：65公斤，140厘米那么我们就得出我们想到的结果，把A和B归为一类。因此，为了避免这种因计量单位不同而产生的差异，我们需要引入标准化的欧氏距离。在这个距离计算中，每个分量被标准化为一个均值和方差相等的区间。假设样本集X的均值（mean）为m，标准差（standarddeviation）为s，则X的“标准化变量”表示为：其中，标准化后的值=（标准化前的值-分量的平均值)/的分量标准差。经过简单的推导，可以得到两个n维向量之间的标准化欧氏距离公式：如果将方差的倒数作为一个权重，那么这个公式可以看作是一个加权欧氏距离（WeightedEuclideandistance）。通过这样的操作，我们有效的消除了不同称量单位之间的差异。6.兰斯和威廉姆斯距离（LanceandWilliamsDistance）兰斯距离，又称堪培拉距离，是一种无量纲指标，克服了明氏距离与各指标量纲相关的缺点，且对较大的奇异值不敏感，特别适用于调度有偏差的数据。但是这个距离也没有考虑变量之间的相关性。所以如果需要考虑变量之间的相关性，还是需要马氏距离。7、马氏距离（MahalanobisDistance）对数值进行标准化后，会不会出现问题？或许。比如一维的例子，如果有两个类，一个类的均值为0，方差为0.1，另一个类的均值为5，方差为5。那么一个值为2的点应该属于哪个类呢？我们直觉上认为肯定是第二种，因为第一种显然不可能达到2的值。但实际上，如果从距离上计算，数字2一定属于第一类。因此，在一个方差很小的维度上，一个很小的差异就可能成为异常值。例如下图中，A点和B点相对于原点的距离相同，但由于样本整体沿横轴分布，B点更可能是样本中的一个点，而A点更可能是异常值。在维度不独立同分布的情况下，也会出现问题。比如下图中A点和B点的距离等于原点，但是主分布类似于f(x)=x，所以A更像是一个离群点。因此，我们可以看出，在这种情况下，归一化的欧几里德距离也会出现问题，所以我们需要引入马氏距离。马氏距离根据主成分旋转变量，使维度相互独立，然后标准化，使维度均匀分布。主成分就是特征向量的方向，所以只需要按照特征向量的方向旋转，然后缩放特征值的倍数就可以了。比如对上图进行变换后会得到如下结果：可见离群点已经成功分离。马氏距离是由印度数学家马氏提出的，用来表示数据的协方差距离。它是一种高效计算两个未知样本集相似度的方法。对于均值和协方差矩阵为Σ的多元向量，其马氏距离（单个数据点的马氏距离）为：对于服从相同分布且其协方差矩阵为Σ的两个随机变量X和Y的差异度，数据点x，y之间的马氏距离为：如果协方差矩阵是单位矩阵，则马氏距离简化为欧氏距离。如果协方差矩阵是对角矩阵，那么马氏距离就变成了标准化的欧氏距离。8.余弦距离余弦距离顾名思义来源于几何学中角度的余弦值，可以用来衡量两个向量在方向上的差异，而不是距离或长度。当余弦值为0时，两个向量正交，夹角为90度。夹角越小，余弦值越接近1，方向越收敛。在N维空间中，余弦距离为：值得指出的是，余弦距离不满足三角不等式。9.测地距离测地距离原指球体表面之间的最短距离。当特征空间为平面时，测地距离为欧氏距离。在非欧几何中，球面上两点间距离最短的线就是连接两点的大弧，球面上的三角形和多边形的边也是由这些大弧构成的。10、布雷柯蒂斯距离（BrayCurtisDistance）布雷柯蒂斯距离主要用于植物学、生态学和环境科学，可用于计算样本间的差异。它的公式是：它的值在[0,1]之间。如果两个矢量坐标均为0，则该值无意义。
