这篇文章是作者自己总结的。由于作者水平所限，难免有错误。欢迎大家指正，在此感激不尽。说到浮点数，人人又爱又恨。喜欢它，因为只有它能方便地使用小数；讨厌它，因为它不能准确地表示小数。以PHP为例：对于floor((0.1+0.7)*10)这样的函数调用，按照数学老师晚死的原则，每个人都可以得到8的结果。但实际上？它将返回7.数学老师的棺材板。..(╯‵′)╯︵┻━┻可是为什么会这样呢？这要从浮点数的特性说起。我们都知道一切都是二元的。在计算机中，一切都是二进制表示的。假设一个4字节整数十进制数8在大端机器中表示为00000000000000000000000000001000(0x0000008)。将十进制整数转换为二进制数非常容易。但是小数呢？比如我们要表示1.75，在计算机中应该怎么存储呢？显然，它不能像整数那样存储。让我们回忆一下小数是如何用十进制计算的。这就是我们计算上述1.75的方法：1×10^0+7×10^-1+5×10^-2。然后我们按照同样的规则计算二进制的小数部分：0.75=1/2+1/4，即1×2^-1+1×2^-2，加上前面的整数部分，则整个公式变成1×2^0+1×2^-1+1×2^-2，写成二进制形式就是1.11。因此，1.75的二进制表示为1.11。小数转二进制，与除以二取整数部分四舍五入相反。0.75*2=1.5->10.5*2=1->1，所以我们也可以得到1.11。科学计数法很好，我们已经知道如何表示十进制二进制了。热，问题来了。学过C语言的同学都知道，一个float只有4个字节，一个Double也只有8个字节。所以，似乎表示小数的范围很有限。在数学老师晕倒在厕所之前，我们应该记得小数中有这么一个东西——科学记数法，我们可以很方便地用它来表示大的小数。那么，同理，我们也可以用它来表示浮点数。让我们首先回顾一下科学记数法的表示。假设我们有一个数字17500，我们可以用科学计数法将其表示为1.75×10^4。让我们跟随葫芦。在二进制数中，假设有一个数字是11010。让我们将其映射为十进制。十进制乘以10，然后二进制乘以2，我们对应的可以写成1.101×2^100。是的，其实就是这么简单。那么有人会问，为什么不写成0.1101×2^101呢？我们再回忆一下，在十进制的科学计数法中，有没有规定整数部分的取值范围是[1,10)。那么对应到我们的二进制数，这个规则就可以变成[1,2)，没错，对应关系就这么简单。浮点数还好，我们现在知道用二进制表示小数，用科学记数法表示二进制小数。那么，我们离在计算机内存中存储数字只有一步之遥了。如果我们要把所有的东西都存储在内存中，那么我们就需要合理分配内存空间。浮点数有两种，一种是单精度浮点数（float），占用4字节内存。其中，1位为符号位，8位为指数（幂），23位为尾数（小数部分）。细心的人可能会发现好像没有整数部分？但别担心，这就是上面的规则派上用场的地方。当整数部分在[1,2)之间时，只能取1的值。那么，对于这个值，我们是否可以将其作为默认值，不记录在浮点数的表示中呢？而这样一来，我们的浮点数的精度就多了一位（小数部分的位数决定了精度）。这种表示称为隐式从1开始的表示。归一化和非归一化的偏移值此时，我们发现第一位是浮点数的符号，所以，对于科学计数法来说，序号也需要有符号。单精度时，指数只有8位；在双精度中，指数只有11位。如果我们把指数码表示成补码，那么我们可以表示的数的范围就会缩小，显然不划算。于是，偏移值就诞生了。内存中归一化浮点数表示中的归一化值（指数代码不全为0或1），指数代码不是2的幂，而是计算的结果。这个计算公式是e-Bias，其中Bias是偏置值，e是指数在浮点数中的二进制表示。Bias的取值为2^k-1-1（单精度为127，双精度为1023），所以e-Bias的取值范围为[-126,127]（单精度）和[-1022,1023]（双精度）。事实上，如果你对补码有很好的理解，你应该能看出来这实际上是省略了符号位的补码表示）。从上面隐含的1-startedrepresentation的尾数，我们可以计算出底数M=1+f。那么我们整个浮点数就可以写成这样一个表达式：M×(e-Bias)。非规范化值（序号全为0）我们可以用同一个公式来表示规范化值和非规范化值。然而，出于一些更方便的原因（我不会在这里深入），它们之间是有区别的。根据归一化计算，指数的值为0-Bias，但在这里，我们让指数的值等于1-Bias。同样，由于我们在指数上加1，整个浮点数将向左移动一位。那么，我们需要保持浮点数的值不变，M不再需要上面整数部分的1，所以M=f。同时我们会发现一个问题，就是+0.0和-0.0在浮点数的二进制表示上是不一样的。SpecialValues（所有指数都为1）最后还剩下一类数，就是所有指数都为1的情况。当小数为0时，浮点数为∞。当小数不为0时，浮点数的值为NaN，即不是数字（NotaNumber）。计算浮点数好了说了这么多，还是回到原来的问题，floor((0.1+0.7)*10)=7，我们先来看0.1的二进制表示。首先，我们将小数转换为二进制，得到0.000[1100]...让我们转换为浮点数的二进制表示。根据上面的规则，可以表示为科学计数法1.10011001100110011001100×2^-4，使得指数编码为-4+127=123，二进制表示为01111011。因此，整个浮点数的二进制表示号码是00111101110011001100110011001100(0x3dcccccc)。同样，0.7将表示为00111101001100110011001100110011(0x3d333333)。首先，我们要把数字的顺序用小序号对齐，然后加上尾数，这样我们得到的值为00111101111001100110011001100101，我们把它转成十进制，发现小于0.8。所以当我们做乘法和向下舍入时，它等于7。最后，其实浮点数有很多陷阱。因此，我们在使用浮点数时一定要小心。另外，在进行金额计算时，一定不能使用浮点数。本文是作者自己阅读的总结。由于作者水平所限，难免有错误。欢迎大家指正，在此感激不尽。参考文献《深入理解计算机系统（第 3 版）》第2.4.2节
