这篇文章是《程序员的数学》的读书笔记。0计数就是简单的计数，计数就是一种计数的方法。严格来说，是一个事物与被统计事物的一一对应关系。只要没有遗漏和重复，这个数字就是准确的。很小的时候，我们常常用手指头数数，从1数到10，然后就糊涂了。如果我们更聪明，我们会加上脚趾。不够怎么办？这也是困扰我们老祖宗的一个问题，手指不够用，可以用其他更多的东西，比如石头，石头总是比手指多，但是如果石头多了怎么办？于是发明了伟大的十进制。我们日常使用的数字1、2、3、999、10000等其实都是十进制，只是一般不这么叫，跟二进制、八进制等放在一起就说明了。十进制是每10进1，每10的数满位就进1到高位，用0到9的十个数，从右到左分别代表个、十、百、千。..每个位置的数字代表该位有多少个值。总数就是把每一位的值乘以本位的个数，最后相加。例如2503表示21000,5100,010,31累加结果，即2503=21000+5100+010+31,1000,100,10,1可以用10^3（10的三次方),10^2,10^1,10分别用^0来表示，所以十进制的位数都是10^n的形式，n从右到左分别是0,1,2,3,4...，10称为底数或基数，n称为指数。了解了十进制的记法之后，二进制的记法也很简单。计算机使用二进制表示法。计算机之所以采用二进制表示法，是因为二进制表示法的数较少，计算机结构可以更简单，也更容易表达，比如电路的断线等。二进制只用0和1两个数，从右到左分别代表1位、2位、4位、8位……比如1100代表18、14、02、0的结果1的累加就是对应的十进制数12，而8、4、2、1这几个数位分别可以用2^3、2^2、2^1、2^0来表示，那么二进制的数位他们都是2^n的形式，n从右到左分别是0、1、2、3、4....以上两种计数方式也称为按位计数方式。此外，常用的还有八进制和十六进制。八进制使用0-7的八个数字，从右到左的数字分别是8^0、8^1....十六进制比较特殊，因为数字只有0-9，不够16，怎么办，补充字母：A，B，C，D，E，F，A代表10，B代表11...F代表16，从右到左的数字分别是16^0、16^1...，常用的颜色值#FFFFFF、#F5F5F5等都是十六进制。不同的计数方法可以相互转换。上面说了，二进制转十进制就是把十进制数连续除以2，观察每次除后的余数是1还是0，然后把剩下的继续除以2，最后把余数排列在reverse得到对应的二进制，比较抽象，看例子：比如1212/2=6，余数06/2=3，余数03/2=1，余数11/2=0，1的余数倒序排列：1100如9999/2=49，149/2=24，124/2=12，012/2=6，06/2=3，03/2=1，余数11/2=0，余数1倒序排列：1100011不是很简单。前面几位的表示都是指数的形式，指数的大概情况比较好理解。例如，10^2是两个10的乘积，10^3是三个10的乘积。10^0呢，010相乘，不应该是0，其实是1，所以需要换个方式来理解。不知道的时候，可以先写一些，然后，找规律，可以先忽略0的大小写。10^3=1000,10^2=100,10^1=10,10^0=?5^3=125,5^2=25,5^1=5,5^0=?2^3=8.2^2=4,2^1=2,2^0=?你发现规律了吗？其实就是k^n。当n减1时，数值变成原来的k分之一，所以10^0是10^1的十分之一，也就是1，5^0是5^1的五分之一，也就是1，2^0是2^1的二分之一，也是1，所以k^0=1。这样就很容易理解k^-n。比如10^-1是10^0的十分之一，也就是1/10，10^-1是10^-1的十分之一，也就是1/100。以前我们总是刻意记得比如10^0和2^0是1，负次方是分数，但其实我们应该记住这组规则，这样我们才能举一反三。看到这里，你可能会疑惑为什么标题是0，其实上面的基础都是0，如果没有0，就没有按位计数的方法，0起到了占位符的作用。索引中0的作用是统一标准，简化规则。否则数字1要特殊对待，不能用10^n或2^n来表示。余数余数就是除法运算后剩下的数，也叫余数，开玩笑的。余数非常有用，它可以帮助处理周期性问题，即使值很大，但可以通过余数来简化问题，可以将数值大的问题转化为数值小的问题；余数也用来分组，比如表格中常见的Interlacedcolorchangingfunction，通过给n%2=0的行添加颜色，可以将偶数行和奇数行分成两组。来看一个经典的问题，今天是星期天，一百天后是星期几？100天的价值不大，直接算也能算出来，但是如果1000、10000天之后，或者10^100天之后呢？人多不说，电脑都会死机。这个问题可以通过余数轻松解决。一周有7天，所以100天内能补上7天的可以忽略，所以100%7=2，还有2天。今天是星期天，所以两天后就是星期二。因为10^100的数值太大，计算机计算起来很费力，不妨先看看能不能找到规律。10^0=11%7=1星期一10^1=1010%7=3星期三10^2=100100%7=2星期二10^3=10001000%7=6星期六.....如果有兴趣的可以继续写，最后你会发现随着n的指数增加，余数定律是6个数的循环，1,3,2,6,4,5，n从0到100，所以总数是101，所以101%6=5，第五个对应的数是4，所以10^100天后就是星期四。数学归纳法数学归纳法是用来证明关于整数的陈述对于所有0以上的整数（0、1、2、3……）是否成立的方法。综上所述，乍听不靠谱，其实非常严谨。数学归纳法的证明步骤类似于多米诺骨牌。首先要保证每张牌都被翻下时下一张会倒下，然后要保证第一张牌能被推下，这样整张多米诺骨牌才能倒下。假设要证明一个断言P(n)对于所有大于0的整数n都为真，那么使用数学归纳法的步骤如下：1.证明当n=0时，P(0)为真2.证明即无论n为0以上哪一个整数，P(n)成立，则P(n+1)也成立。步骤1称为基础，步骤2称为归纳。经过以上两步，就可以证明断言是真的了。我们来看一道大家之前做过的题：1到100的和是多少？最基本的方法当然是从1到100一路相加，但是相信大家也知道还有一种方法，就是101*50=5050，也就是首尾相加：1+100=101,2+99=101,3+98=101.....已经加到50+51=101，一共是50101，那么和就是5050。现在假设是从0加到n，但是就是仍然认为是从1加到n，那么每一项的首尾之和为1+n，一共有n/2项，和为：(1+n)(n/2)=((1+n)n)/2，这个表达式也叫高斯方程，我们记为A(n)，然后用数学归纳法证明A(n)对于所有n为0或0以上的所有整数为真，步骤如下：1.证明A(0)为真。2、证明无论n是0以上的任意整数，如果A(n)为真，则A(n+1)也为真。第一步：代入0表示公式的值为0，从0加0也为0，成立。第二步：假设A(n)成立：即0+1+2+...+n=((1+n)*n)/2成立证明A(n+1)成立：将n+1添加到A(n)的两边：0+1+2+....+n+(n+1)=((n+1)*n)/2+(n+1)代入A(n)的右边到这个等式的左边：((1+n)*n)/2+(n+1)=((n+1)*n)/2+(n+1)右边合并：((1+n)*n)/2+(n+1)=(n^2+3n+2)/2左边展开合并：(n^2+3n+2)/2=(n^2+3n+2)/2左右边相同，所以A(n+1)也成立步骤1和步骤2都成立，所以从0到n的和=((1+n)*n)/2成立。PermutationCombinationPermutation将n个事物按顺序排列称为排列。例如，ABC的三张牌有多少种排列方式？第一张牌有三个选项，第二张牌有两个选项，第三张牌只有一个选项。因为每个选项都可以和其他选项不同，所以一般的安排是把这几次的选项数相乘，321=6。如果有四张ABCD牌，则有4321=24的排列，更多的数相近。这种乘法很有规律，逐渐递减。这称为阶乘，用!表示。例如321表示为3!，4321表示为4!。排列从n个事物中选出m(m<=n)个事物来替换它们，称为排列。例如，从5张牌中选择3张进行替换：第一张牌有5个选项，第二张牌有4个选项，第三张牌有3个选项。总排列：543=60种。抽象，从n张牌中取出k张牌排列：n*(n-1)*(n-2)*....*(n-k+1)将上式统一为减法形式：(n-0)*(n-1)*(n-2)*....*(n-(k-1))，从0乘以k-1，则一共k项相乘排列了total记为：因为这个公式不好写，所以用下面的：Pk（上）n（下）来表示。上面的表达式写起来太长，可以用阶乘的形式表示：因为n!=(n-0)*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1))*(n-k)*...*2*1(n-k)*...*2*1=(n-k)!所以Pk(上)n(下)=n!/((n-k)!)。组合从n个不同的元素中取出k(k<=n)个元素，不分顺序排列的方法就是组合。Ck(Up)n(Down)，计算方法是先计算排列总数：Pk(Up)n(Down)，然后除以重复度。比如4和3的总排列数：432=24，但是取出来的三个元素有321=6的排列方式，所以每三个元素重复6次，需要去掉这个重复，24/6=4种。这个重复性正好是k的排列数，所以：ck(top)n(bottom)=(从n个不同元素中取出的k(k<=n)个元素的排列总数)/(k的排列总数)=(n!/((n-k)!))/k!=n!/((n-k)!k!)来练习一下：把King、King、J、Q、K这五张牌排成一排，找到有几种排列方式，其中至少左边和右边的一张ends是一张A，没有大小王之分。分为三种情况：1、左端为王牌的情况。王牌有两种选择，其余四张牌替换。总数计算如下：2*P(4/4)=2*4*3*2*1=48。2、右端如上是王牌，483，两端是王牌两端的选择，两张王牌的替换P(2/2)*剩余3张牌的替换P(3/3)=2!*3!=2*1*3*2*1=12。1和2这两种情况包含了3的情况，所以区分大小王的排列总数=1的总数+2的总数-3的总数，再计算不区分大小王的情况大小王，除以王牌重复度P(2/2)=2*1=2，最终总排列为：(48+48-12)/2=42种。本文对计数、余数、数学归纳法和排列组合的相关知识进行了简单的论述。下一篇文章会讨论一个有趣的东西：递归，敬请期待。
