3blue1brown系列课程，精美的动画，加上生动的讲解，非常适合帮助建立数学形象思维，值得反复观看：http://www.3blue1brown.com/哔哩哔哩：https://space.bilibili.com/88...作者也把制作视频的代码放到github上了。有兴趣的同学可以研究看看Github：https://github.com/3b1b/manim下面摘录部分内容，领略一下微积分的奥秘。要理解微积分的本质，我们先从一个众所周知的公式说起。这个公式就是求圆面积的公式：A=πr2我们会用微积分来推导这个公式。在这个过程中，我们会用到微分、积分，以及两者的倒数。首先，我们先把一个圆分成几个环如下图所示。我们得到每个圆环的面积，然后将它们相加得到圆的面积。所以我们把圆切割成几个距离dr相同的同心环。比如圆环的半径是3，dr是0.1，那么我们把一个圆分成30个宽度为0.1的同心环：每个环拉直都会得到一个新的形状，我们将这个形状近似做成一个矩形，那么这个矩形的面积就是圆环的周长乘以dr，圆环的周长就是圆环到圆心的距离*2π，那么每个圆环的大概面积就是：2πr*dr（这里的r是每个圆环到圆心的距离）你会发现我们dr的值越小，我们计算的圆的面积就越准确。现在如果我们把所有的近似时刻从小到大一一排列在一起，我们会有一些全新的发现：注意为了观察方便，我们的y轴和x轴的比例是5:1.现在我们去dr是0.1，我们取的dr值越小，得到的环越多，这些环的近似矩形面积之和接近于原来圆形的面积。如果有无限多个环，那么我们得到的近似值就会越来越接近真实值。但是我们取的环越多，计算量就越大，无限多就意味着根本无法计算。但是注意当dr的值无穷小的时候，我们把所有圆环的面积加起来和下图中三角形的面积一样。这个三角形的底为3，高为最大环的周长，即圆的周长：2π*3若圆的半径为r，则其对应的三角形为底为r的三角形高度是2π*r。从三角形的面积公式，我们得到圆的面积：πr2对于数学家来说，你不只是想找到答案，你想开发可以解决一般问题的工具和技术让我们回忆一下刚刚发生的事情。为什么这有效。这个从近似值到精确值的过程，通过这个过程，我们可以理解微积分的本质。最后，我们将问题分解为许多小值的和，得到一个近似的结果。首先，我们取每个区间的dr值，取一个环。我们把一个圆分成几个小环，把它近似成几个长方形，就可以得到圆的大概面积。这里的dr不仅是环的宽度，还有每个环的半径之间的距离。我们把这个dr做得越小，dr值越小，所有矩形的面积越接近三角形的面积。我们可以得出结论，原原型的面积恰好就是这个三角形的面积。请注意，这个时间不再是一个近似值，而是完全准确的。这样，我们重新推导出计算圆面积的公式。现在让我们看看这种方法在其他地方是如何工作的。例如，给定每个时间点骑车的速度，求出自行车在这段时间内走了多远。我们可以把每个时间点的速度乘以这个微小的时间，然后相加求和，就是这整个时间段内行驶的距离的近似值。从图中我们可以看出，最后我们把一个物理问题变成了一个几何问题。是不是很有趣？还有很多问题可以这样计算。我们会把一个复杂的问题分解成几个类似a*b的问题然后相加求和（比如上面的速度乘以时间），其中每次乘法计算a的都是一样的。（和前面的例子一样，每个时间点之间的距离是一样的，也就是vt中的t是一样的）那么我们可以把这个问题转化为几个细长的矩形区域（a*b不仅仅是一个矩形的公式对于面积？）求和得到近似值的问题。如果我们取a（这个汽车例子中的t）的值越小，最后得到的值就越准确，也就越接近下图求面积的问题。等等，这个形状的面积好像不是那么好找的。看来我们不会像求圆的面积那么幸运了，得到的图形恰好是一个三角形。和上面的问题一样，我们找到一辆汽车从开始到停止已经行驶的距离。最后我们得到这样一个形状，我们怎么求它的面积呢？如何求二次函数曲线下的面积？视频告诉我们，当你遇到一道特别难的数学题时，不要想着硬着头皮去解决，否则往往会撞南墙。相反，你应该带着不明确的目标继续玩弄这些概念。我们设二次函数，x2函数曲线下的面积为A(x)，那么A(x)和x2有什么特殊关系呢？如果我们稍微增加x的值，A(x2)的值会发生什么变化？我们称增加的面积为dA，x的增加值称为dx。我们将这个增加的区域近似为一个矩形。我们可以得到：dA≈x2*dx由此我们得到：dA/dx≈x2这里，dx的值越小，dA的面积越接近矩形的面积。dA/dx越接近x2，我们就可以将x=3，dx0.001代入这个公式，得到我们还不知道的神秘A(x)，但是我们有这样一个公式：dA/dx≈f(x)dx的值越小，这个公式就越准确。作者：guolaomao@cnblogshttps://www.cnblogs.com/guola...
