第一章 信号与系统
1. 试证明：任何周期信号都可以分解为一组正弦信号之和，即傅里叶级数展开。
证明：设周期信号为x(t)，其周期为T，频率为f=1/T。则根据傅里叶级数展开公式，有
其中，系数$a_0$，$a_n$和$b_n$分别为
由此可见，任何周期信号都可以分解为一组正弦信号之和。
2. 试证明：任何有限能量的非周期信号都可以分解为一组正弦信号之积分，即傅里叶变换。
证明：设非周期信号为x(t)，其能量为
则根据傅里叶变换公式，有
其中，$X(f)$为$x(t)$的傅里叶变换。由于$x(t)$是有限能量的，所以$X(f)$是绝对可积的，即
根据帕塞瓦尔定理，有
由此可见，任何有限能量的非周期信号都可以分解为一组正弦信号之积分。
...（省略后续内容）