本文经AI新媒体量子比特（公众号ID：QbitAI）授权转载，转载请联系出处。数学与计算机的关系一直是你中有我，我中有你。计算机程序离不开数学，同时也为数学计算带来便利。国外知名科普网站广达杂志盘点了2020年计算机与数学两大学科的几项重大突破，其中既有困扰数学家50多年的难题，也有人工智能与数学的结合。当然，在疫情隔离期间，也有两位数学家因为解决了陶哲轩未能挑战的百年数学难题而上榜。让我们来看看。TOP1：“量子纠缠”的重大突破今年计算机领域最重要的突破是MIP*=RE的证明。它的证明意味着使用量子逻辑计算的量子计算机（而不是使用0和1计算的经典计算机）可以在理论上验证大量问题的答案。来自悉尼科技大学、加州理工学院、德克萨斯大学奥斯汀分校和多伦多大学的五位计算机科学家联合发表了他们的研究成果，论文名为《MIP * = RE》。本文证明了由经典验证与多个量子理论验证相互作用确定的语言类MIP等价于递归可枚举语言类RE。也就是说，MIP*=RE多方交互证明，加上量子纠缠的计算能力，为图灵停机问题提供了思路。对于论文的结论，物理学家从中看到了Tsirelson物理问题的答案，而数学家从中看到了Connes嵌入猜想的答案。作者之一亨利·袁说：“就像盲人摸大象一样，不同科学领域的人欣赏的部位不同。虽然他们都是正确的，但他们还没有搞清楚大象的本来面目。”20世纪80年代，计算机科学家发明了交互式证明理论和概率可验证证明（PCP），MIP*=RE是经典的PCP定理，能够借助量子纠缠递归到无穷大。论文总结出两台机器纠缠，相互验证，可以用来解决图灵停机问题。同时也证明Connes嵌入猜想是错误的。他们还引用了经典的两局相互验证游戏Bell/CHSH，两者无休止的纠缠验证会增加游戏的胜率。所以最后的问题是如何停止纠缠验证的过程。此外，该论文的第一作者是悉尼科技大学量子软件与信息中心的季正峰教授。季正峰获得博士学位。2007年获得清华大学计算机科学与技术博士学位。论文地址：https://arxiv.org/abs/2001.04383TOP2：破解“康威怪癖”今年6月，英国著名数学家约翰·康威（JohnConway）因新冠肺炎去世，留下了一个困扰全人类的难题数学世界50年的难题“康威结”。在他去世一个月后，德克萨斯大学奥斯汀分校的博士生LisaPiccirillo花了一周的时间解决了这个问题。这些年来，数学家们发现了各种拓扑可切片但不可平滑切片的扭结。然而，这些扭结的交点都大于12。而在交点数小于12的扭结中，只有康威结的切片状态一直无法找到。为什么康威扭结的光滑和可切割很重要？因为光滑且可切割的扭结为数学家提供了一种探索四维空间奇异特性的方法。因此，康威扭结是否平滑、可切割成为扭结理论取得重大突破的硬性标准。Lisa认为，如果可以为Conway扭曲构建相同迹线的扭结，它可能会更好地适用于可切割性不变性。因此，她设法构建了一个复杂的扭结，其痕迹与康威扭结相同。Lisa使用了一种叫做Rasmussen的s-不变量。事实证明，她构造的扭结不是光滑且不可切割的，因此可以推断康威扭结也不是光滑且不可切割的。“这是一个非常漂亮的证明。”数学家们赞叹道。延伸阅读：https://mp.weixin.qq.com/s/4wGmSxKGFVEqW_wdWWVtogTOP3：参与IMO的AI数学已有几千年的发展历史，而人类的记忆是有限的，即使是顶尖的数学家也记不住全部数学公式和定理。于是，许多数学家将目光投向了“数学数字化”，建立了一个汇集了数千年数学成果的数字图书馆。在一个名为Lean的Microsoft软件程序上，数学家们建立了一个名为Mathlib的数学基础数据库，其中包含了数学专业二年级学生应该学习的所有内容。他们将数学知识编译成计算机语言，并根据庞大的数学公式和定理库解决数学问题。精益解决问题的方法和象棋、围棋AI一样。他们遵循决策树，直到算法找到最优解。目前，精益正计划参加下一届IMO（国际数学奥林匹克竞赛）。比赛结果还不得而知，不少人对结果持悲观态度。然而，有一些特别成功的人工智能解决复杂数学问题的案例。来自斯坦福大学、卡内基梅隆大学和罗切斯特理工学院的几位计算机研究人员，通过AI，仅用40台计算机和30分钟，就解决了困扰数学家90年的凯勒问题。猜测。延伸阅读：https://mp.weixin.qq.com/s/bDD6-KAwLWPFAdV8khfIRw那么，今年的数学和计算又有哪些新的突破呢？几何推进内切方问题疫情期间，两位足不出户的科学家AndrewLobb和JoshuaGreene感到无聊。于是他们动动手指，解决了一道困扰他们百年的数学难题。就连陶哲轩也没能挑战这道数学题。问题是：任何简单的闭环总能在其上找到四个点，形成任意纵横比的矩形吗？这个问题也被称为内切方问题，起源于1911年。德国数学家奥托·托普利茨预测，任何简单的闭合曲线都包含四个点，这些点可以连接成一个正方形。这句话听起来很简单，但是自古以来，有多少数学家绞尽脑汁也未能证明。1977年，数学家HerbertVaughan利用莫比乌斯带取得了突破，解决了这个内接矩形问题。他证明了在三维空间的任何闭环中，至少有四个点可以组成一个矩形。天才数学家陶哲轩用积分法解决了一定情况下的内接方块问题。他通过积分证明，在由两个常数小于1的李普希茨图形组成的曲线的特殊情况下，曲线上必然有四个点组成一个正方形。但都没有证明任何长宽比的矩形（包括正方形）是否可以存在。在AndrewLobb和JoshuaGreene的方法中，他们将莫比乌斯带嵌入到四维辛空间中，证明了莫比乌斯带可以嵌入到四维辛空间中而不相交。这意味着每条封闭的平滑曲线都必须包含一组四个点，这些点可以连接在一起形成所有纵横比的矩形。延伸阅读：https://mp.weixin.qq.com/s/E-I_3C-3m0KTI1XjYaKWcA十二面体的新发现数学家花了2000多年时间研究正四六八十二二十这些特殊形状也称为柏拉图多面体。多年来，数学家对它们仍然知之甚少。一直有一个关于柏拉图式多面体的想法。假设从柏拉图立体的一个角开始，是否有一条直线路径可以不经过其他角而回到原来的角？对于由等边三角形或正方形组成的四面体、立方体、八面体、二十面体，科学家们得出了一个具体的结论：它们不存在。必须经过其他的弯道，否则永远回不到起点。但是，十二面体是由五边形组成的，是不是也符合这个定理呢？JayadevAthreya、DavidAulicino和PatrickHooper将他们关于十二面体的研究成果发表在了《实验数学》杂志上。他们认为，由于十二面体是由五边形组成的，而五边形和十二面体在几何上是相关的，因此可以利用前者的高度对称性来阐明后者的结构。结果，研究人员能够识别十二面体返回起点的所有直线路径，并根据十二面体隐藏的对称性对这些路径进行分类。十二面体中有无数条这样的直线路径，这些路径可以分为31个自然族。论文地址：https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10586458.2020.1712564朗兰兹数学桥梁数学思想的升华与升级17世纪，法国数学家提出了“费马大定理”。断言关于x、y和z的方程x2+y2=z2对于整数n>2没有正整数解。时隔300多年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（AndrewWiles）于1995年证明了这一点。威尔斯还提出了数学桥梁的概念。这意味着这个方程是两个数学领域之间的桥梁，当桥梁连接时，不定式就解决了。然而，这只是Langlands项目的一小部分。朗兰兹计划由加拿大数学家罗伯特·朗兰兹提出，旨在研究数论与几何联系的网络猜想，被认为是现代数学研究中最大的工程。△加拿大数学家罗伯特·朗兰兹数学家将这种方法推广到有理数系数与椭圆曲线的联系上。最近，还涵盖了简单的无理系数。但是当涉及到虚数或更高的指数，如4或5时，他们的方法也不起作用。于是，为了克服上述障碍，芝加哥大学的FrankCalegari和Facebook的科学家DavidGeraghty在网上发表了一篇关于如何构建更一般的不定式桥的论文，并提出了三个猜想。为了证实这三个猜想，数学家们迅速召开了秘密研讨会，整理出一份有10人签名的论文。虽然该论文的研究成果在数学领域的朗兰兹项目上取得了巨大突破，但对于指数大于6或变量大于2的不定式仍无解。因此，朗兰兹项目仍有扩展空间。数学论文地址：https://arxiv.org/abs/1812.09999多项式和幂级数物理中的排斥力在数学中同样存在。多伦多大学的VesselinDimitrov证明了它们的存在并获得了实验结果。通常，多项式的根数与其第二个值一样多。所以X2-4有两个根，X5-7X3+2X2-4X-9有五个根。数学家很想知道多项式的根是如何相互关联的。这里引入了一个循环多项式。所谓循环多项式就是不可约多项式。数学家发现它的根遵循特定的几何图案，而且根全部分布在一个圆圈内，称为“一元根”。但实际上，大多数是非循环多项式。数学家预测，每个非圆多项式都必须在圆外有一个根。他们怀疑这是由于“排斥力”造成的，就像物理学中的电子一样，它们最小的根落在圆内并像磁铁一样起作用，将其他根排斥在圆外。但长期以来，数学家未能证明该理论。季米特洛夫做到了，将多项式根的大小问题转化为幂级数。幂级数就像多项式，有无限解。他从一个非循环多项式开始，找到它的根，将这些根提高到各种幂，将它们相乘，然后对乘积求平方根。最后，根据这个平方根，构造出一个具有多项式本质性质的幂级数。季米特洛夫证明了幂级数的系数一定是整数，如果它的汉克尔行列式也很大，那么非循环多项式的初始根也一定很大。至此，证明了多项式的根与幂级数之间的联系。其他数学家评价说：“他的方法很巧妙，间接地证明了排斥力的猜想。》参考链接：https://www.quantamagazine.org/new-math-measures-the-repulsive-force-within-polynomials-20200514/Duffin-Schaeffer的猜想被证明出自牛津大学青年数学家JamesMaynard（JamesMaynard）攻克了困扰大家80年的数学难题——达芬-谢弗猜想。达芬-谢弗猜想是度量丢番图近似中的一个重要猜想，由物理学家理查德·达芬和数学家阿尔伯特·谢弗于1941年创立2010年提出，众所周知，实数大多是无理数，如π、√2，不能用分数表示。该猜想假设f:N→R≥0为实值函数具有正值，仅当层数：发散（q>0，φ(q)为欧拉函数，表示小于q且与q互质的正整数个数），对于无理数α，有无穷多个有理数，满足ing不平等|α-(p/q)|
