本文经AI新媒体量子比特（公众号ID：QbitAI）授权转载，转载请联系出处.想象一下，如果您的裤子破了几个洞，每个洞的形状各不相同，但宽度不超过1厘米。如何设计一个可以填补所有漏洞的通用补丁？这个问题在数学上叫做：通用覆盖问题（universalcoveringproblem）。让数学家思考了一百年。乍一看，这听起来像是一个简单的问题。不过稍微想想，似乎并没有那么简单。比如一个边长为1的等腰三角形，一个直径为1的圆，直径都是1。但是，这个三角形不能被圆覆盖。最近，一位退休的程序员使用高中方法取得了最新进展。为什么这么难？这个问题的提出者是法国著名数学家：亨利·莱昂·勒贝格。△HenriLéonLebesgue他提出了勒贝格积分，拓宽了微积分的研究范围。1914年，他在给他的好朋友朱利叶斯·帕尔（也是数学家）写信时提出了一个问题：在一个平面上，求一个能覆盖直径不超过1个单位的面积的最小面积？任何直径不超过1个单位的形状都是在闭合曲线的边上，最远两点之间的距离不超过1个单位。这道题最难的地方在于：不可能穷举出所有直径为1的图形长什么样子。直径为1的形状有几万种，用什么样的万能贴片才能全部覆盖？什么都涵盖了“万能”的方法，不过这道题入门并不难，只要有高中数学基础的都可以试试。接下来，让我们看看目前数学家们是如何解决这个问题的。从需要覆盖的直径为1的区域R开始。虽然不知道R长什么样子，但是可以肯定的是：它永远不会超过1个单位的宽度。所以我们假设它有2个点-A和B，距离为1个单位。现在，让我们假设除了A和B之外，在区域R内还有一个点C。那么C会在哪里呢？它不能大于A的1个单位，也就是说它必须在一个以A为圆心、半径为1的圆内。但另一个问题是C和B之间的距离不能超过1个单位。所以C也一定在一个以B为圆心、半径为1的圆内。因此，C的位置就确定在两个圆的交点处。到A和B的距离不能超过1。这个条件不仅适用于C点，也适用于区域R中的每个点。所以R中的每一个点都必须位于这两个圆的交点区域内。也就是说，这个区域可以覆盖所有可能的直径为1的R集，是一个普适覆盖区域。但是这个区域不是最小区域，需要剪枝。注意圆的交点构成两个等边三角形，顶点为A、B，上下点距AB中点的垂直距离为√3/2。由于√3/2大于1/2，我们可以画两条平行线，平行于AB，距离AB1/2单位。现在，考虑下图中的红色区域。因为两条平行线之间的距离是1个单位，所以一组直径为1的不可能同时在两个红色区域。你可以删除一个。这样，普适覆盖面积就从原来的(2π/3)-(√3/2)≈1.228缩小到(π/2)-1/2≈1.071。从一个基本的全域覆盖开始，可以通过去掉一个不相关的关键部分，来减少它的面积。这就是数学家如何获得最小通用覆盖的方法。优化方法：Pálhexagon使用更高级的技术，我们还可以找到其他一些简单的形状。Pál使用恒定宽度曲线的特性表明，即使一组直径为1的曲线可能会“拉伸”出直径为1的圆，但它始终可以移动或旋转以适合包围圆形的六个边。下图是Pál提出的六边形，可以涵盖各种形状（直径1）。上图中间的形状是一个Reuleaux三角形，它是一个等宽曲线，和我们上一节提到的万向盖密切相关。Rero三角形是由三个相同的圆得到的圆弧三角形。这个六边形的面积是√3/2≈0.866，比上一节得到的面积要小。但是Pál也说不需要整个六边形。通过巧妙的轮换，他去掉了一些无关紧要的部分。首先，将两个Pál六边形堆叠在一起。其中一个六边形围绕中心旋转30度。出现了6个红色的小三角形。每个红色小三角形都在未旋转的六边形之外和旋转的六边形之内。由于每个六边形的平行边和对边之间的距离为1个单位，因此两个相对的红色三角形中的点之间的距离必须大于1个单位。即一组直径为1的形状不可能同时出现在两个相对的红色小三角形中。按照上一节的思路，你可能觉得6个小三角形应该可以去掉3个小三角形，但实际上是不可能的。因为六边形旋转60度，或对称翻转，形状不会改变。所以只有两种不同的方法可以从一对对立的三角形中选择一个红色三角形：3个三角形可以是连续的或交替的。但是，我们可以去掉2个这样的小三角形。帕尔就是这么做的。他从他的六边形上切下两个三角形，得到一个保证覆盖所有直径为1的区域的新形状。这个新的万能覆盖的面积是2-2/√3≈0.8453，比六边形的面积略小.但Pál六边形并不是最优解。在此基础上，数学家和数学爱好者不断地修整。1992年，数学家RolandSprague和HCHansen从Pál六边形中减去三个小细条。将面积减少到0.844137708416。Sprague减少了0.001个单位面积，Hansen减少了0.00000000004个单位面积。高中几何的退休程序员，两次突破极限，然后二十年过去了，在这个问题上没有任何进展。直到2014年，一位名叫PhilipGibbs的退休软件工程师试图解决这个数学问题。他利用自己的编程背景，尝试用计算机解决方案来解决。△PhilipGibbsGibbs首先对200个随机生成的直径为1的形状进行了计算机模拟。这些模拟表明他可能能够修剪最小普遍覆盖空间顶角的某些区域。然后他证明了新的覆盖层适用于直径为1的所有可能形状。2015年2月，吉布斯和两位合作研究者在线发表了这篇论文。△论文地址：https://arxiv.org/abs/1502.01251他们将最小普遍覆盖率从0.8441377单位面积减少到0.8441153单位面积。他的策略是将所有直径为1的形状移动到他之前发现的通用覆盖物的某个角落。然后去除对角线部分中的任何剩余区域；但是，它在面积节省测量方面非常准确。虽然这次减少的单位面积只有0.0000224，但几乎是1992年汉森减少面积的100万倍！不过，这并没有阻止他进一步“种田”。2018年10月，吉布斯自己又发表了一篇文章，再次缩小了最低普遍覆盖区域。△论文地址：https://arxiv.org/abs/1810.10089要知道在吉布斯的基础上缩小覆盖面积可不是一件容易的事。正如加州大学河滨分校的数学家JohnBaez所说：你无法真正画出碎片，因为它们都是原子大小的。但是吉布斯又一次突破了极限，堪称原子剪刀。这次他的出发点是上图中的A点和E点。最后通过本次研究，得到的最小面积为0.8440935944。值得一提的是，实验方法基本属于高中几何知识。正如Bates所说：从数学上讲，这只是高中几何，但它几乎是疯狂的。极限挑战将继续。虽然这个问题还没有最终得到解决，但是在2005年，一些数学家计算出了这个问题的理论下限。普遍覆盖面积不能小于0.832个单位面积。尽头的最后一步还在等人过。难点还是在于唯一直径的形状千变万化，最后给出的范围需要涵盖所有的可能性。如果你这样做了，这个名字将载入数学史册。传送门Quantamagazine博客：https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/GitHub项目地址：https://github.com/guadaran/lebesgue-universal-covering-problem
