通信原理第七版第三章课后习题解析与思考

通信原理第七版第三章课后习题解析与思考

通信原理是电子信息工程专业的一门重要基础课程，它涉及了信号与系统、调制与解调、编码与解码、传输与接收等方面的知识。本文将对通信原理第七版樊昌信曹丽娜编著的教材中第三章的课后习题进行解析，并提出一些思考问题，帮助读者加深对本章内容的理解和掌握。

本章主要介绍了时域分析法和频域分析法两种分析信号和系统的方法，以及它们之间的联系和区别。时域分析法是利用信号在时间上的变化规律来描述和处理信号和系统的方法，它主要包括卷积运算、冲激响应、差分方程等概念。频域分析法是利用信号在频率上的分布特征来描述和处理信号和系统的方法，它主要包括傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换等概念。

以下是本章课后习题的部分解析：

1. 试证明：若x(t)为周期函数，则其傅里叶级数展开式中只含有有限项时，x(t)必为有限个正弦或余弦函数之和。

证明：设x(t)为周期函数，其周期为T，傅里叶级数展开式为

其中$\\omega_0=\\frac{2\\pi}{T}$，$a_n$和$b_n$为傅里叶系数，N为有限正整数。如果x(t)不是有限个正弦或余弦函数之和，那么必然存在某个n（$1\\leq n \\leq N$），使得$a_n$和$b_n$都不为零。那么我们可以构造一个新的函数y(t)如下：

显然，y(t)也是一个周期函数，其周期为$\\frac{T}{n}$。由于x(t)和y(t)都是周期函数，那么它们的差z(t)=x(t)-y(t)也是一个周期函数，其周期为x(t)和y(t)周期的最小公倍数，即$\\frac{T}{n}$。那么我们可以对z(t)进行傅里叶级数展开：

其中$\\omega_1=\\frac{2\\pi}{T/n}=n\\omega_0$，$c_m$和$d_m$为傅里叶系数。由于z(t)是x(t)和y(t)的差，那么它的傅里叶系数可以由x(t)和y(t)的傅里叶系数相减得到：

其中$\\delta_{mn}$为克罗内克符号，当$m=n$时为1，否则为0。由于x(t)的傅里叶级数只含有有限项，那么当$m>N$时，$a_m=b_m=0$。因此，z(t)的傅里叶级数也只含有有限项，即

其中$c_m=a_m-a_n\\delta_{mn}$，$d_m=b_m-b_n\\delta_{mn}$。注意到当$m=n$时，$c_n=d_n=0$，那么我们可以将上式简化为

这说明z(t)是一个有限个正弦或余弦函数之和。但是这与我们的假设矛盾，因为我们假设了x(t)不是一个有限个正弦或余弦函数之和。因此，我们得到了一个反证，即x(t)必须是一个有限个正弦或余弦函数之和。证毕。