1.什么是prefixsum？对于给定的序列\(A\)，其前缀中的\(S_{[i]}\)和序列\(S\)表示从第\(1\)个元素到第\(i\)个元素之和的元素。公式表示为：$$S_{[i]}=\sum_{j=1}^iA[j]$$代码如下：$S=[0];for($i=0;$i0,1=>a_0,2=>a_1,...]\)，相当于移动所有元素回一个位置。这样既不会影响结果，又能与处理数组的方法同步。此时数组前7项之和等于：$$S_7=arr[1]+arr[2]+arr[3]+arr[4]+arr[5]+arr[6]+arr[7]$$抽象，在数组最前面添加0个元素后，求数组的连续子数组\(arr[i,...,j]\)的方法是一样的作为数组，其中\(1\lei\lej\ltlen，其中i和j都是整数\)：$$S_j-S_{i-1}=arr[i]+arr[i+1]+...+arr[j]$$if题中给出的连续子数组\(arr[i,..,j]\)的和为k，则：$$S_j-S_{i-1}=arr[i]+arr[i+1]+...+arr[j]=k$$即：$$S_j-S_{i-1}=k$$转置：$$S_{i-1}=S_j-k$$\(i-1\)的取值范围是多少？从\(1\lei\lej\ltlen\)的范围：$$0\lei-1\lej-1\ltlen$$当遍历第j项时，前j项的和\(S_{j}\)已经确定。而k是一个常数，换句话说\(S_{j}-k\)是一个固定值。此时数组的第一项和\(S_1\)，前两项和\(S_2\)，...，第\(j-1\)项和\(S_{j-1}\).即：$$[0=>1,S_1=>n,...,S_{j-1}=>n]$$将\(i-1\)的取值范围与前缀和key结合起来数组可知，如果\(S_{i-1}=S_j-k\)成立，则\(S_{i-1}\)一定是前缀和数组的某个键，它确实不管哪个键。例如在输入数组最前面添加0个元素后：\(arr=[0,1,6,2,5,4,2]\)，当遍历到第三项时（起始下标为1，不是0)，\(S_3=1+6+2=9\)。此时\(S_3-k=9-8=1\)，即前3项之和与k的差为1，此时的前缀和数组为\([0=>1,1(S_1)=>1,7(S_2)=>1]\)。而\(S_3\)和k的差1是数组\(S_1\)的前缀和键，所以更新答案。所以是否存在和为k的连续子数组的问题转化为\(S_j-k\)的值是否为前缀和的key的问题。(3)参考代码functionprefix($arr,$k){$prefix=[0=>0];$ans=0;$sum_j=0;//在数组的前面添加0个元素。array_unshift($arr,0);//添加0个元素后，从下标1开始添加。对于($j=1;$j
