数字通信原理课后习题解析与思考
数字通信原理是信息与通信工程专业的一门重要基础课程，它涉及了数字信号的采样、量化、编码、调制、传输、检测等方面的内容，对于培养学生的数字通信系统设计和分析能力具有重要意义。本文将对数字通信原理课程的部分课后习题进行解析，并提出一些相关的思考问题，希望能够帮助学生更好地理解和掌握数字通信原理的知识。
1. 采样定理
1.习题1.1 一个模拟信号$x(t)$的频谱如图所示，试确定该信号的最低采样频率$f_s$。
2.解析 根据奈奎斯特采样定理，如果一个模拟信号$x(t)$的频谱在$[-f_m,f_m]$之间没有能量，则该信号的最低采样频率为$2f_m$。从图中可以看出，该信号的频谱在$[-2,2]$之间有能量，因此$f_m=2$，所以$f_s=2f_m=4$。
3.思考 如果该信号的频谱在$[-1,1]$之间有能量，而在其他区域没有能量，那么$f_s$应该取多少？如果该信号的频谱在$[-3,3]$之间有能量，而在其他区域没有能量，那么$f_s$应该取多少？
4.习题2.1 一个模拟信号$x(t)$满足$-5V\\leq x(t)\\leq 5V$，现用8位PCM编码对其进行量化和编码，试确定：
（1）量化器的量化电平数和量化步长；
（2）PCM码字的长度和码率；
（3）PCM编码后的信噪比。
（1）由于采用8位PCM编码，因此量化器的量化电平数为$N=28=256$，量化步长为$\\Delta=\\frac{10V}{256}=0.039V$。
（2）PCM码字的长度为8位，码率为$R=f_s\\times 8$，其中$f_s$为采样频率。由于不知道$x(t)$的频谱范围，无法确定$f_s$的具体值，只能用$f_s$表示。
（3）PCM编码后的信噪比为
其中$n$为PCM码字的长度。
1.思考 如果采用7位PCM编码，那么上述三个问题的答案会如何变化？如果$x(t)$满足$-10V\\leq x(t)\\leq 10V$，那么上述三个问题的答案会如何变化？
2.习题3.1 一个二进制数字信号$x(t)$的码元长度为$T_b=1\\mu s$，现用BPSK调制对其进行调制，试确定：
（1）载波的频率和相位；
（2）调制信号的带宽和功率；
（3）调制信号的星座图。
（1）载波的频率为$f_c=\\frac{1}{T_b}=1MHz$，相位为$\\phi=0$或$\\pi$，根据$x(t)$的值决定。即
（2）调制信号的带宽为$B=2f_c=2MHz$，功率为$P=\\frac{1}{T_b}\\int_0{T_b}s2(t)dt=\\frac{1}{2}$。
（3）调制信号的星座图如图所示，其中实部为$I$分量，虚部为$Q$分量。