本文转载自微信公众号《Linux开发那些事》，作者LinuxThings。转载本文请联系Linux开发那些事儿公众号。在计算机中，所有的数都是用二进制表示的，也就是由0和1组成的各种编码。数的表示可以分为原码，原码和补码怎么表示，补码如果没有特殊指令，以下介绍以4位二进制原码为例。为了区分正数和负数，计算机中将二进制的最高位（bit）指定为符号位。等于0时表示正数，等于1时表示负数，剩下的所有低位(bit)都用来表示数值。下图从左到右分别表示+5和-5的反码。正数的反码与其原码相同。负数的反码以原码为基础，符号位不变，值位取反。下图从左到右分别表示+5和-5的补码。补码是在反码的基础上加1，下图从左到右分别是+5和-5的补码。奇怪了，为什么要用补码这种麻烦的方式来表示数字（尤其是负数），是不是很直观？为了理解这个问题，我们以原码、反码、补码的形式模拟二进制加减法，以4位二进制为例说明原码下图列出了所有正、反码的二进制表示4位二进制的负数。黄色二进制0和1的位置用原码模拟进行3+2、6+(-2)、(-1)+(-3)运算。具体运算过程如下：上图中，圆圈内的二进制位在做加法运算时，将前位的结果结转。由于有效二进制数位为4位，因此圈内的二进制数位会因溢出而被自动舍弃（计算过程中仍会使用溢出的二进制数位，结果溢出的二进制数位将被舍弃。）即可从计算过程看，3+2=5是正确的，但是6+(-2)=0和(-1)+(-3)=4的结果都是错误的。因此，虽然原代码直观易懂，转换起来也容易，但是在运算上，正数之间的加法是没有问题的，而负数之间、正数与负数之间的加法都有问题，所以计算机不能用原码来表示数字的反码。下面列出了4个数字所有正数和负数的二进制表示，请看下图。正数的反码就是它自己，负数的反码就是符号位不变，其他位取反。图中黄色二进制位表示符号位是反码模拟出来的。3+2、6+(-2)、(-1)+(-3)运算，具体运算过程如下：同原代码，上图圆圈内的二进制位由于自动丢失溢出放弃，在补码运算中，只有3+2=5正确，其他结果都不正确注：(-1)+(-3)的结果为1010，符号位为1，说明result是一个负数，根据上面的负小数对应的二进制补码表，可以看出它对应的小数是-5。从求补运算的结果来看，正数相加的结果是正确的，负数和负数、正负数相加的结果是错误的。是的，因此，计算机不能用补码来表示数字的补码。说完原码和补码，再来看补码。下图显示了正负补码的二进制表示。用补码模拟3+2,6+(-2),(-1)+(-3)运算，具体运算过程如下：从上面的计算过程可以看出，去除溢出后二进制位，3+2,6+(-2),(-1)+(-3)使用原码和反码计算结果都是正确的，不能解加法运算，但是使用补码来表示，无论是正数之间，负数之间，还是正数与负数之间的加法都可以解决。因此，计算机选择用补码来表示数字，用补码来进行运算。补码的好处是简化了减法计算。补码在加减法处理中不需要因为数的正负而采用不同的计算方法。只要只有一个加法电路，它就可以处理各种有符号和无符号的加法，而减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，所以只要有加法电路和补码电路，可以完成各种有符号的数字。有符号数和无符号数的加减法，在电路设计中，统一表示数字0是相当方便的。另外，根据上一节，+0和-0的补码都是0000，对应的小数点是0，即0。补码只有一种表示方式，在计算机中有唯一的表示方式，这与补码不同（在补码中，0有两种二进制表示方式），所以在判断一个数是否为0，只比较一次。因为+0和-0的补码只有一种表示方式，即0000，但是原码和反码都有两种表示方式，所以补码会多??出一个1000的二进制表示方式（4位）以二进制为例），对应的十进制数-8的补码是怎么来的？前面说了负数的补码就是它的倒数加1，为什么要这样计算呢？这个计算有效吗？在十进制中，一个负数可以通过0减去一个正数，同样，在二进制中，例如：-3可以表示为0-3，也可以表示为下面的二进制减法计算，因为0(0000)是小于3（0011），根据算术运算规则，当被减数的位数小于减数时，需要从前一位借1，从前一位借1后，就变成10000。所以，上面的减法计算就变成了我们知道的，10000可以表示为1111和1的和，即10000=1111+1，所以根据上面的计算，减去3的结果就变成了(0011)从0(0000)得到1101，而1101正好是-3的补码其实上面的计算过程相当于先求反码再加1，请看下图：减去源码00113从1111，结果是反码-31100，然后加1得到-3负数的补码就是1101再看前面的介绍。一个负数的补码等于它的补码加1，是不是有点眼熟？是的，负数的补码就是这么来的。不是空穴来风的定义，而是通过上面的计算一步一步得到的，但是补码的计算方法只是它的反码加1。为什么补码适合正数的加法呢？我们还是以4位二进制为例来说明。如果有两个两个正数A和B，现在我们要证明A减去B的结果等于A加上B减去一个数的补数等于加上一个负数，所以A-B=A+(0-B)由上一节可知，(0-B)等价于(1111-B)+1。因此，A加B的补码等于A+(1111-B)+1。如果结果为R，则R=A+(1111-B)+1A+(1111-B)+1可写为A-B+(1111+1)A-B+(1111+1)可写为A-B+10000(1111+1=10000)我们以4位二进制为例，10000已经超过了4位，所以在加上10000的时候，最高位会因为溢出而被舍弃。其实此时10000就相当于0000（最高位溢出，需要舍弃）所以，上面的计算R=A+(1111-B)+1=A-B+(1111+1)=A-B+10000=A-B+0000=A-B这证明A减B等于A加B的补码总结本文介绍原码、反码和补码，着重介绍补码的由来，证明补码的可行性计算正加法
